2022-2023学年上海市静安区新中初级中学八年级上学期期末数学试卷

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共6小题，共18分）
1. 下列函数关系式：①y＝2x；②y＝2x+11；③y＝3﹣x；④y＝．其中一次函数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据一次函数的定义：形如（k、b为常数，且）的函数，叫做一次函数.
详解：①y=2x，是一次函数；
②y=2x+11，是一次函数；
③，是一次函数；
④，不是一次函数，
故选C.
点睛：本题考查了一次函数的定义.熟练理解并掌握一次函数的概念是对一次函数进行正确辨别的关键.
2. 如果一次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A. 0或1B. 1C. 0D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】将原点坐标代入，得到关于m的一元二次方程，再根据一次项系数不能为0为方根的解进行取舍即可．
【详解】解：将原点坐标代入，
可得，
解得，，
是一次函数，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，以及解一元二次方程，解题的关键是注意解析式中一次项的系数不能为0．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 是二元二次方程B. 是二项方程
C. 是分式方程D. 是无理方程
【答案】A
【解析】
【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是，故是二元二次方程，故正确；
B、是二次方程，故错误；
C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误；
D、被开方数不含未知数，不无理方程，故错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．
4. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
5. 函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．
①当k＞0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；
∴D选项错误，不符合题意，
②当k＜0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．
∴A选项正确，符合题意，B、C选项错误，不符合题意
故选：A．
6. 对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个不相等的实数根，那么下列不等式成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程，利用根的判别式的意义得到，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：为偶数，方程有两个不相等的实数根，
，
故选：D
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
二、选择题（本题共12小题，共48分）
7. 函数的图象在轴的截距是______．
【答案】
【解析】
【分析】代入求出值，此题得解．
【详解】解：当时，，
一次函数的图象在轴上的截距是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入求出的值即可求出该函数图象在轴上的截距，是解题的关键．
8. 关于x的方程a2x+x=1的解是__．
【答案】．
【解析】
【分析】方程合并后，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程合并得：（a2+1）x=1，
解得：x=，
故答案为：．
9. 已知方程，如果设，那么原方程可以变形为关于的整式方程为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】先把方程变形为含的分式方程，再去分母得整式方程．
【详解】解：方程，可变形为：，
若设，则
所以原方程可变形为：
两边都乘以，得
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程的换元法．题目难度不大，注意式子的变形．
10. 如果一个多边形的内角和为，那么过这个多边形的一个顶点可作___________条对角线．
【答案】4
【解析】
【分析】根据多边形的内角和是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系：一个顶点的对角线条数等于边数减3，即可得解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：，
那么过这个多边形一个顶点可作条对角线．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数边数．
11. 已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：由题意得，，
解得，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
12. 一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】当时，
即此函数在y轴上的截距为
要使一次函数的图象不经过第一象限，则此函数在y轴上的截距小于等于0
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
13. 已知：点、在函数的图象上，则a ________ b（在横线上填写“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，当时，y将随x的增大而减小，即可得出a，b的大小关系即可．
【详解】解；，
将随x的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数的增减性，比较简单．解答此题的关键是熟知一次函数的增减性，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
14. 如果方程没有实数根，那么的取值范围是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性得出，再求出的范围即可．
【详解】解：方程没有实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解无理方程，能熟记具有非负性是解此题的关键．
15. 写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据方程组的解可得，再由平方差公式得到，则可写出满足条件的一个方程组为．
【详解】解：方程组的解为和，
，
，
方程组可以是，
故答案为：答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键．
16. 某单位在两个月内将开支从元降到元，如果设每月降低开支的百分率均为，则由题意列出的方程应是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由该单位在两个月内将开支从元降到元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17. 把直线y=x+1向右平移______个单位可得到直线y=x-2．
【答案】4
【解析】
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：
直线y=x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y=(x-n)+1，
又∵平移后的直线为y=x-2，
∴(x-n)+1=x-2，
解得n=4，
故答案为4．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
18. 我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为______.
【答案】
【解析】
【分析】先将y=（k-2）x+3k化为：y=（x+3）k-2x，可得当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，即可得到直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）．
【详解】根据题意，y=（k-2）x+3k可化为：y=（x+3）k-2x，
∴当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，
∴直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6），
故答案为（-3，6）．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
三、解答题（本题共7小题，共54分）
19. 解方程：
【答案】x=6
【解析】
【分析】用换元法求解，设．先求，再求，结果需检验．
【详解】解：将原方程变形为：
，
设，
原方程化为，
解得，，
当时，，得，
当时，无解．
检验：把代入原方程，适合．
原方程的解是．
【点睛】本题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
20. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】将方程转化为或，再次联立方程，得到两个方程组，然后逐一求解，即可解决问题．
【详解】解：，
由得：或
原方程组化为或；
解得：，
原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元高次方程的求解问题；解题的一般策略是降次转化，化高次方程组为低次方程组，然后求解．
21. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
【答案】（1）y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）.（2）该产品的生产数量为40吨.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域.
（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可.
【详解】（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：.
∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）.
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，
x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）.
∴该产品的生产数量为40吨.
22. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？
【答案】第一次买了10本资料．
【解析】
【分析】设第一次买了x本资料，根据“第一次购买单价−第二次购买单价=4”列分式方程求解可得．
【详解】设第一次买了x本资料，
根据题意，得： =4，
整理，得：x2+50x−600=0．
解得：x1=−60，x2=10，
经检验：它们都是方程的根，但x1=−60不符合题意，舍去，
答：第一次买了10本资料．
【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程.
23. 在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【解析】
【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间．
【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24. 如图，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点若
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请写出在轴的右侧，当时，的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为y2=x－2
（2）0＜x＜4．
【解析】
【详解】解：（1）∵AB⊥x轴，
∴∠ABC=∠DOC=90°．
∵C是OB中点，
∴OC=BC．
在△ABC与△DOC中，
∴△ABC≌△DOC．
∴AB=OD．
∵D（0，－2），
∴OD=2．
∴AB=2．
∵S△AOD=4，即，
∴OB=4．
∵点A在第一象限，
∴A（4，2）．
∵点A（4，2）在双曲线上，故k=4×2=8．
．
，
∴C（2，0）．
∵A（4，2），C（2，0）在直线y2=ax＋b上，
解得
∴y2=x-2．
综上，反比例函数解析式为；一次函数解析式为y2=x-2．
（2）根据图象，只在y轴的右侧的情况：此时当y1＞y2时，0＜x＜4．
25. 如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数的图像经过点，并且与轴、的图像分别交于点；
（1）若点横坐标为，求四边形的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）若一次函数的图像与函数的图像的交点始终在第一象限，则系数的取值范围是（请直接写出结果）；
（3）在第（1）小题的条件下，在轴上存在这样的点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】先求出点的坐标，再求出的解析式，然后根据即可求解；
联立两直线解析式，消去表示出，由交点在第一象限，求出的范围即可；
分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：点横坐标为，且函数的图像过点，即，
∴点的坐标为，
∵一次函数的图像经过点，点，
∴，解方程组得，，
∴直线的解析式为：，
∵直线与轴交于点，
∴点的坐标为，
又∵函数的图像与轴交于点，
∴，
如图所示，连接，
∴，，点到轴的距离是，点到轴的距离是，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵一次函数的图像经过点，并且与轴、的图像分别交于点，
∴将代入得，，即直线解析式为，
与函数联立得，，
消去得，，
∴，，
由坐标在第一象限，
∴且，解方程得，，
∴系数的取值范围是．
【小问3详解】
解：当时，如图所示，
∴在等腰三角形，过点作轴于，
∵，，
∴，，
∵，点，即，
∴，
∴；
当时，如图所示，
过点作轴于，在中，，
∴，
∵，，
∴如图1所示，；如图2所示，；
当时，如图所示，
在中，设，则，
又∵，，
∴，即，解方程得，，
∴．
综上所述．满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质以及分类讨论思想的运用是解本题的关键．