上海市静安区市西初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份上海市静安区市西初级中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，计算题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣1B．
C．3x2+x＝（3x﹣1）（x+2）D．ax2+bx+c＝0
4．（3分）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．22C．24D．16或22
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，∠A＝62°（ ）
A．59°B．60°C．61°D．62°
6．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两边及一个角对应相等的两个三角形全等
B．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．（3分）二次根式有意义，则x满足的条件是 ；
8．（3分）化简：＝ ．
9．（3分）化简：＝ ．
10．（3分）不等式x﹣2＜x的解集是 ．
11．（3分）方程x2＝2x的根为 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
13．（3分）命题“全等三角形的对应角相等“的逆命题是一个 命题（填“真“或“假“）．
14．（3分）如图，∠ABC的平分线BD与外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，BE＝10，CF＝8 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，BD＝5 ．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度在线段DC上运动，若点P、点Q同时出发，当x＝ 时，△ADP与△PCQ全等．
17．（3分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 ．
18．（3分）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90°，设∠ABC＝α，∠C＝β，点E在AD延长线上，且BC＝BE，请写出∠BAE、α和β满足的数量关系： ．
三、计算题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
四、解方程（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
21．（5分）4（1﹣x）2＝25．
22．（5分）．
23．（5分）x2+10x﹣9975＝0．
24．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
五、解答题（本大题共5小题，25、26、27每题6分，28、29每题9分，满分36分）
25．（6分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值；
（2）当a＞1，0＜b＜1时，试判断方程根的情况．
26．（6分）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
27．（6分）已知：如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，垂足为D．求证：∠BAD＝∠CAD+∠C．
28．（9分）在△ABC中，点D是AC的中点．
（1）如图1，连接BD，若AB＝6，求中线BD的取值范围．小明是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中，小明证明三角形全等用到的判定方法是： ；中线BD的取值范围是 ；
（2）如图2，点M在边AB上，点N在边BC上，试猜想线段AM、CN、MN能否构成三角形，并证明你的结论；
（3）如图3，AB＝MB，BC＝BN，连接MN，探索BD与MN的关系
29．（9分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0，的两根均为整数，其“快乐数”F（1，﹣3，﹣4）＝＝2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足|r•F（a，b，c）（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）（p，q，r）互为“开心数”．
（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣l）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，求n的值．
2023-2024学年上海市静安区市西初级中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：A、原式＝；
B、原式＝；
C、原式＝a；
D、是最简二次根式．
故选：D．
2．（3分）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：＝2，，＝2，，＝4，
∴能和合并的是．
故选：C．
3．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣1B．
C．3x2+x＝（3x﹣1）（x+2）D．ax2+bx+c＝0
【答案】A
【解答】解：A．x2＝﹣1，是一元二次方程；
B．x3﹣2+1＝3，选项B不符合题意；
C．原方程可整理得：4x﹣2＝2，选项C不符合题意；
D．当a＝0时，选项D不符合题意．
故选：A．
4．（3分）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．22C．24D．16或22
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣14x+40＝0，
∴（x﹣8）（x﹣10）＝0，
解得x1＝2，x2＝10，
∵第三边的长为二次方程x2﹣14x+40＝7的一根，4+4＝5，
∴边长4，4，3不能构成三角形，4，8，
∴三角形的周长为6+8+10＝22，
故选B．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，∠A＝62°（ ）
A．59°B．60°C．61°D．62°
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝62°，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣62°）＝59°，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∴180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF，
∴∠B＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF，∠EDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF，
∴∠B＝∠EDF＝59°，
∴∠EDF的度数为59°，
故选：A．
6．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两边及一个角对应相等的两个三角形全等
B．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解答】解：A、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是假命题；
B、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题；
C、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故原命题错误；
反例：如图，在△ABC，AC＝AC，高AH＝AH，
D、两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
故选：B．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．（3分）二次根式有意义，则x满足的条件是 x≥ ；
【答案】x≥．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x﹣5≥0，
解得x≥，
即x满足的条件是x≥．
故答案为：x≥．
8．（3分）化简：＝ π﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：＝＝π﹣3．
故答案为：π﹣7．
9．（3分）化简：＝ 2ab ．
【答案】2ab．
【解答】解：∵b＞0，
∴原式＝2ab．
故答案为：2ab．
10．（3分）不等式x﹣2＜x的解集是 x＜+1 ．
【答案】x＜．
【解答】解：移项得，x﹣x＜2，
合并同类项得，（）x＜2，
x的系数化为5得，x＜．
故答案为：x＜．
11．（3分）方程x2＝2x的根为 x1＝0，x2＝2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2＝2x，
x8﹣2x＝0，
x（x﹣7）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝5，x2＝2，
故答案为：x7＝0，x2＝8．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+8m＝0有实数根，
Δ＝b2﹣5ac＝9﹣8m≥7，
解得m．
13．（3分）命题“全等三角形的对应角相等“的逆命题是一个 假 命题（填“真“或“假“）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“全等三角形的对应角相等“的逆命题是三组对应角相等的两个三角形全等，此逆命题为假命题．
故答案为：假．
14．（3分）如图，∠ABC的平分线BD与外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，BE＝10，CF＝8 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠GBD，∠EDC＝∠GCD，
∵BD平分ABC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝10，
∵CD平分∠ACG，
∴∠FCD＝∠GCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC＝8，
∴EF＝ED﹣FD＝10﹣8＝4．
故答案为：2．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，BD＝5 3 ．
【答案】3．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣5＝3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度在线段DC上运动，若点P、点Q同时出发，当x＝ 1或 时，△ADP与△PCQ全等．
【答案】1或．
【解答】解：设运动时间为t s，
∵△ADP≌△PCO，
①AD＝CP且DP＝CQ，
∴，
解得：，
∴当x＝1时，△ADP≌△PCO，
②AD＝CQ且DP＝CP，
∴，
解得：，
∴当x＝时，△ADP≌△PCO，
综上所述，x＝1或x＝时．
故答案为：1或．
17．（3分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x满足方程|x2+px+q|＝3，则q的最小值是 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵|x2+px+q|＝3，
∴x3+px+q﹣3＝0①，
x6+px+q+3＝0②，
∴Δ7＝p2﹣4q+12，
Δ3＝p2﹣4q﹣12，
∴Δ4＞Δ2，
∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝5，
∴Δ2＝0，Δ2＝24，
∴p2﹣4q﹣12＝3，
∴q＝p6﹣3，
当p＝0时，q的最小值﹣4．
故答案为：﹣3．
18．（3分）如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90°，设∠ABC＝α，∠C＝β，点E在AD延长线上，且BC＝BE，请写出∠BAE、α和β满足的数量关系： ∠BAE＝a+β ．
【答案】∠BAE＝a+β，理由见解答过程．
【解答】解：∠BAE、α和β满足的数量关系是：∠BAE＝a+β
在AE上截取HE＝AC，连接BH
∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠E＝∠C，
∴∠E＝∠C＝β，
在△HBE和△ABC中，
，
∴△HBE≌△ABC（SAS）
∴AB＝BH，∠HBE＝∠ABC＝α，
∴∠BAE＝∠BHA，
∵∠BHA＝∠HBE+∠E＝α+β
∴∠BAE＝a+β．
三、计算题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
19．（5分）计算：．
【答案】6．
【解答】解：原式＝3+3﹣5﹣2+
＝3+3﹣8﹣2+4
＝6．
20．（5分）计算：．
【答案】0．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣﹣（﹣）
＝0．
四、解方程（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
21．（5分）4（1﹣x）2＝25．
【答案】x1＝，x2＝﹣．
【解答】解：∵4（1﹣x）8＝25，
∴（1﹣x）2＝，
则1﹣x＝±，
∴x1＝，x2＝﹣．
22．（5分）．
【答案】x1＝5，x2＝．
【解答】解：∵x（x﹣5）+7（5﹣x）＝0，
∴x（x﹣5）﹣4（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣4）＝0，
则x﹣8＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝5，x2＝．
23．（5分）x2+10x﹣9975＝0．
【答案】x1＝95，x2＝﹣105．
【解答】解：∵x2+10x﹣9975＝0，
∴x8+10x＝9975，
∴x2+10x+25＝9975+25，即（x+5）3＝10000，
∴x+5＝±100，
∴x1＝95，x8＝﹣105．
24．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，
∴Δ＝b5﹣4ac＝9+32＝41＞6，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x4＝，x2＝．
五、解答题（本大题共5小题，25、26、27每题6分，28、29每题9分，满分36分）
25．（6分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值；
（2）当a＞1，0＜b＜1时，试判断方程根的情况．
【答案】（1）a＝1，b＝1；
（2）没有实数解．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4a×＝b2﹣a＝7，
即a＝b2，
当b＝1时，a＝2；
（2）∵a＞1，0＜b＜6，
∴b2﹣a＜0，
即Δ＜2，
∴原方程没有实数解．
26．（6分）已知：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：作AF⊥BC，垂足为F，
因为AB＝AC，AF⊥BC，
所以BF＝CF
因为AD＝AE，AF⊥BC，
所以DF＝EF
所以BF﹣DF＝CF﹣EF，
即BD＝CE
27．（6分）已知：如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，垂足为D．求证：∠BAD＝∠CAD+∠C．
【答案】见详解．
【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，
∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE．
∴AB＝AF（三线合一），
∴∠BAF＝∠BFA（等边对等角），
∵∠AFB＝∠C+∠CAF（三角形外角性质），
∴∠BAD＝∠CAD+∠C．
28．（9分）在△ABC中，点D是AC的中点．
（1）如图1，连接BD，若AB＝6，求中线BD的取值范围．小明是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中，小明证明三角形全等用到的判定方法是： SAS ；中线BD的取值范围是 1＜BD＜5 ；
（2）如图2，点M在边AB上，点N在边BC上，试猜想线段AM、CN、MN能否构成三角形，并证明你的结论；
（3）如图3，AB＝MB，BC＝BN，连接MN，探索BD与MN的关系
【答案】（1）SAS；1＜BD＜5；
（2）线段AM、CN、MN能构成三角形．证明见解析；
（3）MN＝2BD，BD⊥MN．证明见解析．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝6，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE+BC，
∴6﹣4＜BE＜6+4，即7＜BE＜10，
∴1＜BD＜5；
故答案为：SAS；5＜BD＜5；
（2）线段AM、CN．
证明：延长ND至点F，使FD＝ND、MF
同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，
∴AM+CN＞MN，
∴线段AM、CN．
（3）2BD＝MN，BD⊥MN
延长BD至E，使DE＝BD，如图7所示，
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC+∠MBN＝180°，
即∠ABD+∠CBD+∠MBN＝180°，
∵∠E+∠CBD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，
，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC+∠NBG＝90°，
∴∠MNB+∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN，
即MN＝2BD，BD⊥MN．
29．（9分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0，的两根均为整数，其“快乐数”F（1，﹣3，﹣4）＝＝2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足|r•F（a，b，c）（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）（p，q，r）互为“开心数”．
（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为 ﹣4 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣l）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，求n的值．
【答案】（1）﹣4；
（2）﹣；
（3）n＝0或3或．
【解答】解：（1）方程：x2﹣2x﹣7＝0的“快乐数F（1，﹣7；
故答案为：﹣4；
（2）程x2﹣（2m﹣l）x+m8﹣2m﹣3＝2，Δ＝b2﹣4ac＝4m+13，
∵1＜m＜6，即：17＜8m+13＜37，
4m+13＝25或36，
∴m＝3，m＝，
方程变为：x2﹣5x＝4，
则F（1，﹣5＝﹣，
故其“快乐数”数是﹣；
（3）x2﹣mx+m+4＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）＝（m﹣2）6﹣8，
设Δ＝a2，
则（m﹣3+a）（m﹣2﹣a）＝8，
（m﹣8+a）＝4或2或﹣5或﹣2，
（m﹣2﹣a）＝7或4或﹣2或﹣3，
解得m＝5或﹣1，
方程变为：x8﹣5x+6＝8或x2+x＝0；
x3﹣（n+2）x+2n＝7，
Δ＝（n﹣2）2，
F[2，﹣（n+2），
当m＝5时，3n×（﹣]＝6，
解得：n＝3或，
当m＝﹣1时，2n×（﹣3）﹣0＝0，
解得n＝5，
故：n＝0或3或．