上海市静安区市西中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份上海市静安区市西中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市静安区市西中学八年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列二次根式中，最简二次根式是(    )A.  B.  C.  D. 下列二次根式中，不能与合并的是(    )A.  B.  C.  D. 下列方程是关于的一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 若一元二次方程，满足，则方程必有一根为(    )A.  B.  C.  D. 下列命题中，假命题是(    )A. 假命题的逆命题不一定是假命题
B. 所有定理都有逆命题
C. 对顶角相等的逆命题是真命题
D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行已知，化简二次根式的值是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）式子有意义，则的取值范围是______．的有理化因式可以是______．不等式的解集是______．比较大小： ______．在实数范围内分解因式______．某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为，列出方程______．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，则顶角的度数为______ ．若中，，，则中线的取值范围是______．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则、、之间的数量关系是          ．
 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为______．如果一元二次方程的两根相差，那么该方程称为“差方程”例如是“差方程”若关于的方程是常数，是“差方程”设，的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：．本小题分
已知，求的值．本小题分
．
．
．
．本小题分
已知关于的一元二次方程为实数．
如果该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
如果该方程有两个相等的实数根，求的取值范围．
如果该方程没有实数根，求的取值范围．本小题分
已知：如图，，平分，求证：平分．
本小题分
已知如图，，，，与相交于点，求证：．
本小题分
如图，小明家要建一个面积为平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边门除外用竹篱笆围成．这堵墙长米，在与墙平行的一边，要开一扇米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为米没有剩余材料，接头忽略不计，那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？
本小题分
如图，点为锐角三角形内任意一点，连接、、以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证：≌；
若的值最小，则称点为的费尔马点．若点为的费尔马点，试求此时、、的度数；
小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以的、为一边向外作等边和等边，连接、，设交点为，则点即为的费尔马点．试说明这种作法的依据．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 2.【答案】 【解析】解：、能与合并，故本选项不符合题意；
B、能与合并，故本选项不符合题意；
C、能与合并，故本选项不符合题意；
D、不能与合并，故本选项符合题意．
故选：．
原式各项化简，找出与不是同类项的即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程化简后是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 4.【答案】 【解析】解：当时，方程左边，因为，
左边右边，
是方程的一个根．
故选：．
根据方程的根的定义判断即可．
此类题目的解法是常常将或或代入方程，来推理判断方程系数的关系．
 5.【答案】 【解析】解：、假命题的逆命题不一定是假命题．正确是真命题，本选项不符合题意；
B、所有定理都有逆命题，正确，是真命题，本选项不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是真命题．错误是假命题，本选项符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，是真命题，本选项不符合题意．
故选：．
根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意可知．
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，，
所以．
故选：．
首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到，由此可得到的取值范围，然后依据可得到的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 8.【答案】 【解析】解：，
故的有理化因式可以是．
故答案为：．
根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，可得答案．
考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
的解集是，
故答案为：．
先判断出，再解一元一次不等式组即可．
本题考查一元一次不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的基本性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
由于两式均为正数，故可求出其倒数，再比较其大小即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知两个正数相比较．倒数大的反而小是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
先配成完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
本题考查了实数范围内分解因式，关键是用配方法把原式转化为完全平方公式与平方差公式的形式．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得，
故答案为：．
利用第三天铺设污水管道的长度第一天铺设污水管道的长度该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 13.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】【分析】
本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此进行解答即可．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．  14.【答案】或或 【解析】解：是等腰三角形，且为顶角，是腰的高．
当等腰三角形是锐角三角形时，如图；
，
；
当等腰三角形是钝角三角形时；
一、如图；
当时，；
；
二、如图；
当时，；
；
故这个等腰三角形顶角的度数为：或或．
故答案为：或或．
由于本题已知中没有明确指出等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此要分情况讨论．
本题考查了等腰三角形及三角形内角和定理等知识；分类讨论的思想的应用是正确解答本题的关键，分类时要注意不重不漏．
 15.【答案】 【解析】解：延长至点，使，连接，

，，，
≌，
，
，，，
设，则，
，
，
．
故答案为：．
先作辅助线，延长至点，使，连接，先证明≌，在中，由三角形的三边关系定理得出答案．
本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
 16.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．可连接，分别在、中，利用三角形的外角性质表示出、；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．
【解答】
解：连接，

则即为折叠前的三角形，
由折叠的性质知：．
由三角形的外角性质知：
，；
则，
即．
故答案为．  17.【答案】或 【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
分为两种情况：当时，得出方程，当时，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：分为两种情况：
当，即时，，
解得：，，
舍去；
当，即时，，
解得：，，
舍去；
所以方程的解为或，
故答案为：或．  18.【答案】 【解析】解：关于的方程是常数，是“差方程”，
，
解方程得，
，
，
，
，
，
时，的最大值为．
故答案为：．
根据新定义得方程的大根与小根的差为，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．
本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差方程“的定义．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】先根据完全平方公式、绝对值的意义、二次根式的性质和零指数幂的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．
 20.【答案】解：原式(    )
，
，
，
原式． 【解析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式，接着分母有理化得到，利用倒数的定义得到，然后把它们代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键．
 21.【答案】解：
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
，
，
或，
，；
．
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
移项，利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
先化成一元二次方程的一般形式，利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
 22.【答案】解：关于的一元二次方程为实数，
，，，
，
根据题意，得，，
解得且；
根据题意，得，
解得；
根据题意，得，
解得． 【解析】先求出，
根据该方程有两个不相等的实数根，可得，，进一步求解即可；
根据该方程有两个相等的实数根，可得，进一步求解即可；
根据该方程没有实数根，可得，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
 23.【答案】证明：在上取一点，使，

平分，
，
在与中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
即平分． 【解析】在上取一点，使，进而利用证明与全等，进而证明与全等，进而解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 24.【答案】证明：已知，
等式性质，即．
在和中，
，
≌．
全等三角形对应角相等，
连接．
已知，
等边对等角．
已证，
等式性质，即．
等角对等边． 【解析】由已知条件证得≌，连接，要证，可利用等式性质来证得．
本题主要考查了两个三角形的判定和性质，关键是根据证得≌．
 25.【答案】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意舍去；
当时，，符合题意；
答：小明家养鸡场的长为米，宽为米． 【解析】设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 26.【答案】解：证明：为等边三角形，
，．
而，
．
在与中，
，
≌．

连接由知，．
，，
为等边三角形．
．
．
当、、、四点共线时，的值最小．
此时，；
；
．

由知，的费尔马点在线段上，同理也在线段上．
因此线段与的交点即为的费尔马点． 【解析】结合等边三角形的性质，根据可证≌；
连接，由的结论证明为等边三角形，所以，即，所以当、、、四点共线时，的值最小，从而可求此时、、的度数；
根据中费尔马点的定义，又的费尔马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为的费尔马点．
本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．