初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形一课一练

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1．（2022·湖北省初二期中）如图，若△ABC≌△DEF，则∠E为( )
A．30°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠C=30°，
∴∠D=∠A=70°，∠F=∠C=30°，∠E=∠B，
∴∠E=180°-∠D-∠F=80°，
故选：C．
2．（2020·北京垂杨柳中学初一期末）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′
【答案】C
【解析】由题意知这两个三角形已经具备一边和一角对应相等，那就可以选择SAS,AAS,ASA，由此可知A是,ASA,B是AAS,D是SAS,它们均正确，只有D不正确.
故选C
3．（2020·山东省初二期末）如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是射线AD上的两点，且DE=DF，则下列结论不正确的是（ ）
A．△BDF≌△CDEB．△ABD和△ACD面积相等
C．BF∥CED．AE=BF
【答案】D
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ADC，故B正确，
在△BDF和△CDE中，
,
∴△BDF≌△CDE（SAS），故A正确；
∴CE=BF，
∵△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠F=∠DEC，
∴FB∥CE，故C正确；
故选D．
4．（2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图 ，要测量河两岸相对的两点 A、B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C、D，使 BC＝CD，再作出 BF的垂线 DE，使点 A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得 AB＝DE，因此测得 DE的 长就是 AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．SASB．HLC．SSSD．ASA
【答案】D
【解析】∵点 A、C、E在同一条直线上
∴∠ACB=∠ECD，又∠ABC=∠EDC=90°，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
故选D
5．（2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图，AB⊥CD，且AB=CD，CE⊥AD，BF⊥AD，分别交AD于E、F两点，若BF=a，EF=b，CE=c，则AD的长为( )
A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c
【答案】D
【解析】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD，∠A=∠C，∠CED=∠AFB=90°
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c，
故选：D．
6．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠CB．∠D=∠BC．AD∥BCD．DF∥BE
【答案】B
【解析】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
7．（2020·四川达州育才外国语学校初一期末）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F.若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则( )
A．△ABC≌△AFEB．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFCD．△ABC≌△ADE
【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠E＝∠C，AE＝AC，
∴△ABC≌△ADE．
故选D．
8．（2020·太原市晋泽中学校初二月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两条边对应相等的两个三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】D
【解析】解：A、假如这两边是两腰，则不能推出第三个条件相等，如图AB=AC，DE=DF，AB=DE，AC=DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
B、如上图，两腰AB=DE=AC=DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
C、由三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，但是根据AAA不能推出两三角形全等，故本选项错误；
D、∵△ABC和△DEF中，AB=BC=AC，DE=DF=EF，AB=DE，
∴AC=DF，BC=EF，
∴根据SSS可以推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
故选：D．
9．（2020·沭阳县修远中学初一月考）已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=3，若△DEF周长为偶数，则EF的取值为（ ）
A．2或3或4B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=2，DF=AC=3，BC=EF，
∴3-2＜BC＜3+2，即1＜BC＜5．
若周长为偶数，BC要取奇数，
所以为3．
所以EF的长也是3．
故选：C．
10．（2020·湖南省中考真题）如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
11．（2020·全国初三专题练习）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】B
【解析】
A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
故选B．
12．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学初三其他）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠DAB=∠DCB，
故①②正确；
四边形ABCD的面积=S△ADB+S△BDC=BD·OA+BD·OC=BD·AC，
故③正确；
故选D.
13．（2020·河北省初三其他）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知，求作：，使．
作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
（2）作射线，并以点为圆心，长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；
（4）作，即为所求作的角．
A．表示点B．表示
C．表示D．表示射线
【答案】D
【解析】作法：（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
（2）作射线，并以点为圆心，为半径画弧交于点；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；
（4）作射线，即为所求作的角．
故选D．
14．（2020·河北省初三一模）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、
如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、
如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·贵州省初三其他）如图，已知∠1＝∠2、AD＝AB，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是_____．
【答案】DE＝BC
【解析】增加的条件为
理由：∵
∴
∴
∵
∴不一定成立
故答案为：．
16．（2020·贵州省初三学业考试）如图，线段交于点，且，则与的关系是____________________．
【答案】平行且相等
【解析】在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴AB=DE，∠B=∠D，
∴AB∥DE．
故答案为：AB=DE，AB∥DE，即平行且相等．
17．（2022·江苏省初一期末）连接正方形网格中的格点，得到如图所示的图形，则________º．
【答案】180°
【解析】如图，
设正方形网格每一格长1个单位，
∴，，，，
，，，，
又，
，
，，，
，
，
故答案为：
18．（2020·广东省初三学业考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且AC=BC，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4），则点C的坐标为_____．
【答案】(-)
【解析】作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，

则∠ECF=90°，又∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠FCB，
在△ECA和△FCB中，

∴△ECA≌△FCB（AAS），
∴CE=CF，AE=BF，
设AE=BF=x，
则x+1=4−x，
解得x=，
∴CE=CF=，
∴点C的坐标为(，).
故答案为：(，).
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·北京初三三模）如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD．请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【解析】已知：AB=AE，BC=DE，
求证：AC=AD，∠BAC=∠EAD，
证明：∵AB=AE，
∴∠B=∠E，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD；
也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似．
20．（2020·福建省南安市侨光中学初三）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF.
求证：△ADE≌△CFE．
【答案】见解析.
【解析】
证明：，
，
，
，
.
，
，
.
21．（2020·陕西省初一期末）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步.
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离，并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 40米.
【解析】解：（1）所画示意图如下：
（2）在和中，，
∴，
∴，
又∵小刚共走了140步，其中走了60步，
∴走完用了80步，
小刚一步大约50厘米，即米米.
答：小刚在点处时他与电线塔的距离为40米.
22．（2020·沭阳县修远中学初一月考）如图，B，C，E三点在同一条直线上，，求证：
（1）；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【解析】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠D，∠BCA=∠E，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠B=∠D，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°．
23．（2020·陕西省初一期末）如图，已知线段及锐角．求作，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
解：如图，即为所求.

24．（2020·广东省初二期中）如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：
（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；
（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝ ．（不要求写过程）
【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.
【解析】（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
∴在△ACE与△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD（AAS）；
②解：如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，
∴CE=BD=5，AE=CD=3，
∴DE=CE+CD=5+3=8．
(2)过F作FM⊥BC于M，
则∠FMB=∠FMD=90°，
∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠MFB=∠B=45°，
∴BM=MF，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，
∴∠CED=∠FDM，
在△CED和△MDF中，
，
∴△CED≌△MDF(AAS)，
∵CD=2，BD=3，
∴DM=CE，CD=FM=2=BM，
∴CE=DM=3−2=1，
故答案为1.
25．（2022·广东省初一期末）如图，ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，P为AB上一动点，连接CP，以AB为边作∠BAD＝∠BCP，AD交CP的延长线于点D，连接BD，过点B作BE⊥BD交CP于点E．
（1）当∠EBC＝15°时，∠ABD＝ °；
（2）过点P作PH⊥AC于点H，是否存在点P，使得BC＝HC，若存在，请求出此时∠ACP的度数，若不存在，请说明理由；
（3）若AD＝2，ED＝7，求ADC的面积．
【答案】（1）15；（2）存在，22.5°；（3）9
【解析】解：（1）∵BE⊥BD，
∴∠EBD＝90°＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠BCP，
∴△BAD≌△BCE（ASA），
∴∠ABD＝∠CBE＝15°，
故答案为：15；
（2）存在，理由：∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝90°＝∠PBC，
∵BC＝CH，CP＝CP，
∴Rt△BPC≌Rt△BPH（HL），
∴∠BCP＝∠HCP，
在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ACP＝∠ACB＝22.5°；
（3）由（1）知，△BAD≌△BCE，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2，
∵DE＝7，
∴CD＝DE+CE＝9，
由（1）知，△BAD≌△BCE，
∴∠ADB＝∠CEB，BD＝BE，
∵∠DBE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠CEB＝135°，
∴∠ADB＝135°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDE＝135°﹣45°＝90°，
∴S△ADC＝DC•AD＝×9×2＝9．
26．（2020·广东省初二月考）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米的速度运动．
（1）如果点在线段上由点向点运动．点在线段上由点向点运动，它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等：
①经过“秒后，和是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少秒时，刚好是一个直角三角形？
（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒时点与点第一次相遇，则点的运动速度是__________厘米秒．（直接写出答案）
【答案】（1）①，理由详见解析；②当秒或秒时，是直角三角形；（2）或．
【解析】解：（1）①．
理由如下：厘米秒，且秒，
，
．
②设运动时间为秒，是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当时，
，
，
，
（秒）；
Ⅱ．当时，
，
．
，
（秒）
当秒或秒时，