初中数学12.2 三角形全等的判定当堂检测题

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专题12.1-12.2 全等三角形性质及判定
典例体系

一、知识点
1全等三角形
（1） 形状、大小相同的图形能够完全重合；
（2） 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（3） 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（4） 平移、翻折、旋转前后的图形全等；
（5） 对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；
（6） 对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；
（7） 对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；
（8） 全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字
母写在对应的位置上）
（9） 全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等；
2三角形全等的判定
（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；
（2）三角形全等的判定：
①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SSS”）
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）
二、考点点拨与训练
考点1：全等三角形的性质
典例：（2020·古田县第十中学初一期中）如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D=____，∠EAD=______．

【答案】40° 110°
【解析】解：△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°
∵△ABC≌△AED，
∴∠D＝∠C＝40°，∠E＝∠B＝30°，
∴∠EAD＝180°−∠D−∠E＝110°，
故答案为：40°，110°．
方法或规律点拨
本题用考查知识点为：全等三角形的性质及对应角的找法．书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置，也可根据此点来找全等三角形的对应关系．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．
巩固练习
1．（2020·广东省初三一模）如图，，，，则（ ）

A．70° B．45° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°，
∴∠AED＝180°−40°−100°＝40°，
故选：C．
2．（2020·南通市八一中学初一月考）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．
故选：D．
3．（2018·上海初一期末）如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是（ ）

A．72°； B．60°； C．58°； D．50°．
【答案】D
【解析】根据三角形内角和可知，第一个三角形的第三个角的度数为 ，
由全等三角形的性质可知， ，
故选：D．
4．（2020·上海初三二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
【答案】D
【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．

5．（2020·偃师市实验中学初二月考）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝ 度．
【答案】120
【解析】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=25°，
∴∠CAE=∠O+∠D=95°，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．
6．（2020·江苏省初二期末）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为　 　．

【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为130°．
考点2：应用“SSS”判断三角形全等
典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知，，，求证：.

【答案】证明见解析.
【解析】
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3=∠BAD+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2.
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.
巩固练习
1．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
【答案】B
【解析】CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，
可证△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即AD平分∠EDC；
在△ACD中，CD+AC>AD
所以ED+AC>AD.
综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30∘，题干没有此条件，B错误，
故选B.
2．（2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D．
3．（2020·偃师市实验中学初二月考）用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解析】如图，是用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，连接DC、EC，

由作图过程可知：OD=OE，DC=EC，
∴在△ODC和△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS）.
故选B.
4．（2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D．
5．（2020·云南省初三二模）有一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：AC平分∠BAD．

【答案】见解析
【解析】证明：在ABC和ADC中，

∴ABC≌ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD．
6．（2020·湖北省初三其他）如图，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：在与中，
,
∴；
∴，
∴，
∴．
7．（2020·江苏省初三一模）已知：如图，相交于点，过点作，垂足为．求证：．

【答案】见解析
【解析】证明：在△ABC与△BAD中，

∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AO＝BO，
又∵OE⊥AB，
∴AE＝BE．
8．（2020·全国初一课时练习）如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC，

(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
【答案】（1）见解析；（2）构造全等三角形.
【解析】(1)如图,连接OE.

在△EAO和△ECO中,
所以△EAO≌△ECO(SSS).
所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
(2) 在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形.
考点3：应用“SAS”判断三角形全等
典例：（2020·江苏省中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】解：（1）∵AE∥BF，
∴∠A=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠D=∠ACE=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.
巩固练习
1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选：B．
2．（2020·山东初二期末）如图，AB∥CD，CE∥BF，A、 E、F、D在一直线上，BC与AD交于点O，且OE=OF，则图中有全等三角形的对数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：①∵CE∥BF，
∴∠OEC＝∠OFB，
又∵OE＝OF，∠COE＝∠BOF，
∴△OCE≌△OBF，
∴OC＝OB，CE＝BF；
②∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，
又∵OB＝OC，
∴△AOB≌△DOC；
③∵AB∥CD，CE∥BF，
∴∠D＝∠A，∠CED＝∠COD，
又∵CE＝BF，
∴△CDE≌△BAF.
故选B.
3．（2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图，点E、F在BC上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：∠A=∠D．

【答案】见详解
【解析】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D．
4．（2020·江苏中考真题）如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．

5．（2020·江苏中考真题）如图，已知，，．


求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
6．（2020·重庆初三）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．

（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD．
【答案】（1）58°；（2）详见解析
【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC．
∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．
∴∠ADC=∠BAD=2∠G ．
∵∠G=29°，∴∠ADC=58°．
（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．
∵∠BAG=∠G， ∴∠DAG=∠G．
∴AD=GD．
∵点F是BC的中点，∴BF=CF．
在△ABF和△GCF中，
∵
∴△ABF≌△GCF．
∴AB=GC．
∴AB=GD+CD=AD+CD．
7．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点 P 在线段 AB 上以 1的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 （s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，或
【解析】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，
在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
(2)①若△ACP≌△BPQ，
则AC= BP，AP= BQ，

解得;
②若△ACP≌△BQP，
则AC= BQ，AP= BP，

解得：
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
考点4：应用“ASA” 或“AAS”判断三角形全等
典例：（2020·山东省初一期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．

【答案】（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF
【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°
∴∠BCF=∠CAF
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA
∴∠CAF=∠BCE
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
∴
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA
∴∠B=∠ACF
∵CA=CB
∴△BEC△CFA(AAS)
∴BE=CF，CE=AF
EF=EC+CF=AF+BE
方法或规律点拨
本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．
巩固练习
1．（2020·江苏初三二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，.求证：.

【答案】证明见解析．
【解析】证明：，
.
又，，
，
.
2．（2020·湖北省初三月考）如图，于点于点， 求证：．

【答案】详见解析
【解析】证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
3．（2020·重庆市育才中学初二期末）如图△ABC中，点E在AB上，连接CE，满足AC＝CE，线段CD交AB于F，连接AD．
（1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求证：AD＝BE；
（2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）52°．
【解析】解：（1），，
，
又，，
，
；
（2），
，
，
，
又，
中，．
4．（2020·浙江初一月考）△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．

（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积．
【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）18.
(1)AB=AC.
理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC=∠AED,∠ADB=∠ADE
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC；
(2)BE=CD且BE⊥CD.
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD；
(3)四边形CEDB的面积=×BE×CD= =18.
5．（2020·山东省初二期中）（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取两点、，使得，，求证：．
（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，并使，，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．
【解析】（1）∵在正三角形中，，
∴
又∵
∴
在和中，

∴≌()
∴，
∴
（2）猜想：
证明：∵在正三角形中，
∴
∵
∴
∴
在和中

∴≌()
∴，
∴
考点5：应用“HL”判断三角形全等
典例：（2020·辽宁初三一模）如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；
【解析】（1）如图①所示，连接BF，

∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）如图②所示：

延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）如图③所示：

连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
方法或规律点拨
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东初二期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=

A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
2．（2020·甘肃靖远五中初二期中）如图，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】添加的条件是AB＝CD；理由如下:
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
∵，
∴，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE＝R△DCF(HL)
所以A选项是正确的.
3．（2020·山西省初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF=AB，若EF=12cm，则AE的长为（ ）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】C
【解析】∵EF⊥AC，
∴∠CEF=90°，
在Rt△ABC和Rt△FCE中，
∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL），
∴AC=FE=12cm，
∵EC=BC=5cm，
∴AE=AC-EC=12-5=7cm，
故选：C．
4．（2019·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．

【答案】75°
【解析】解：延长AE交DC边于点F，如图：

∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
故答案为：75°．
5．（2020·山西初三二模）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？并说明理由。

【答案】∠ABC+∠DFE=90°，理由见解析．
【解析】解：∠ABC+∠DFE=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
6．（2020·云南初三一模）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：AB＝CD．

【答案】见解析
【解析】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB＝DC．
7．（2020·河南省实验中学初二月考）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【解析】证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，

∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
8．（2019·湖北初二期中）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．

求证：（1）△ABC≌△DEF ；（2）AB∥DE．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF ∴∠ACB=∠DFE=90°
又∵BC=EF AC=DF
∴△ABC≌△DEF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠B=∠DEF
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）