八年级上册12.1 全等三角形学案

这是一份八年级上册12.1 全等三角形学案，文件包含121全等三角形讲义学生版doc、121全等三角形讲义教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。

1.通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形.
2.能叙述全等三角形的定义机器相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角.
3.总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
学习重难点：
学习重点：全等三角形的性质.
学习难点：寻找全等三角形中的对应元素.
知识点一 全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
提醒：1.全等形关注的是两个图形的形状和大小，只有形状相同、大小相等的两个图形才是全等形。2.平移、旋转和翻折前后的图形全等。
【例1】下列图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断．
【解答】解：A、两个图形相似，错误；
B、两个图形全等，正确；
C、两个图形相似，错误；
D、两个图形不全等，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等图形的定义，是基础题，比较简单，准确识图即可．

【变式1】下列叙述中错误的是（ ）
A．能够重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；
B、全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；
C、所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；
D、形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的知识，要求同学们掌握全等图形的定义及性质．
【变式2】下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）
A．B．C．D．
【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
知识点二 全等三角形 【重点】
全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的变叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形及对应关系的表示方法
我们用符号“≌”表示全等，如果和全等，那么记作：≌，读作：全等于。
表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如：≌，则表示点与,与,与是对应点。

【例2】．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，写出其他的对应边、对应角和对应顶点。
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．
【解答】AB和AC是对应边，BD和CE是对应边，AD和AE是对应边；和是对应角，和是对应角，和是对应角，△ABD的顶点A、B、D分别对应△ACE的顶点A、C、E.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

【变式3】如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD=BC
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式4】．如图，△ABC≌△DEF，则图中相等的线段有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，
又∵AD=AB﹣BD，BE=DE﹣BD，
∴AD=BE，
∴相等的线段有：AB=DE，AC=DF，BC=EF，AD=BE．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，结合图形准确找出对应边是解题的关键．
A’
A
知识点三 全等三角形的性质 【重难点】
C’
B’
B
C
对应边相等:、、.
2.对应角相等:、、.
【例3】如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．
【解答】解：要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起
拓展点一 角度计算问题
【例1】如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（ ）
A．68°B．62°C．60°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：∵∠E=50°，∠D=62°，
∴∠EBD=180°﹣50°﹣62°=68°，
∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC=∠EBD=68°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【例2】1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．

【变式1】如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
【分析】根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是180度来解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边，
∴∠A=∠FDE，
又∵∠A=100°，
∴∠FDE=100°；
∵∠F=47°，∠FDE+∠F+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°﹣∠F﹣∠FDE=180°﹣47°﹣100°=33°；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．
【变式2】已知如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠OAD=（ ）
A．95°B．85°C．75°D．65°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠D=∠C=25°，再利用三角形内角和定理可得∠OAD的度数．
【解答】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=25°，
∵∠O=70°，
∴∠OAD=180°﹣25°﹣70°=85°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应角相等．
拓展点二 线段求值与证明问题
【例题3】．如图所示，△ABD≌△AEC，且AB=8，BD=7，AD=6，则BC为（ ）
A．7B．8C．6D．2
【分析】根据全等三角形的对应边相等得出AD=AC=6，代入AB﹣AC即可求出答案．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AC=6，
又∵AB=8，
∴BC=8﹣6=2，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．

【变式3】．如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD=∠E，若BE=10，CF=4，则EF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据全等三角形性质，可得：∠ABC=∠DBE，进而得出∠ABD=∠FBE，得出∠FBE=∠E，得出BF=EF即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，BE=BC，
∴∠ABC﹣∠DBF=∠DBE﹣∠DBF，
即∠ABD=∠FBE，
∵∠ABD=∠E，
∴∠FBE=∠E，
∴BF=EF=BC﹣CF=10﹣4=6，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形性质，关键找出对应边和对应角．求线段的大小往往利用全等三角形的性质求解．

【变式4】．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是 5 ．
【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE=4，AE=1，
∴AB=BE+AE=4+1=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．

【变式5】．如图，△ABC≌△EDF，AE=20，FC=10，则AF的长是 5 ．
【分析】根据全等三角形性质，可得：AC=EF，得出AF=CE，从而AF=（AE﹣FC）÷2，即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，DF=BC，AB=ED，
∴AC=EF，
即AF+FC=CE+FC
∴AF=CE
∴AF=（AE﹣FC）÷2=（20﹣10）÷2=5．
故答案为：5
【点评】本题考查了全等三角形性质，关键找出对应边和对应角．求线段的大小往往利用全等三角形的性质求解．
拓展点三 面积问题
【例4】如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，若DE∥AC交BC的延长线于点E，且△ADC全等于△ECD，试问：梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等吗？谈谈你的看法.
【解答】解：理由：因为四边形ABCD是梯形，AD∥BC，
所以△ABC和△BCD是同底（BC）等高三角形
所以S△ABC=S△BCD
又△ADC全等于△ECD
所以S△ADC=S△ECD,
所以S△ABC+S△ADC=S△BCD+S△ECD，
即：梯形ABCD的面积和△BDE的面积相等
【变式6】如图 ,在R △ABC中,ACB = 90°,且AC=BC=4 cm, 已知△BCD△ACE ,求四边形AECD的面积
【解答】因为△BCD△ACE
所以
因为==
拓展点四 探索开放性问题
【例5】．如图，点A，B，C，D在一条直线上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）
【分析】本题要灵活运用全等三角形的性质．两个三角形为全等三角形，则对应边相等，对应角相等．
【解答】解：∵△ABF≌△DCE
∴∠BAF=∠CDE，∠AFB=∠DEC，∠ABF=∠DCE，AB=DC，BF=CE，AF=DE；
∴AF∥ED，AC=BD，BF∥CE．
【点评】主要考查全等三角形的性质即，全等三角形对应边相等，对应角相等．做题时要从最简单、最明显的开始找，由浅入深，由易到难，循序渐进．
易错点一 找错全等图形的对应元素
【例题1】 如图，指出其他的对应边和对应角。
【解答】
另一组对应角为与,
对应边为AB与AD,AC与AE，BC与DE。
易错点二 对应关系考虑不周
【例题2】边长都为整数的和全等，与是对应边,,,若的周长为奇数，则的取值为 .
【解答】由和全等，知和的周长相等且都为奇数，所以AC的长为奇数，又根据三角形三边关系，得AC的长大于2，且小于6，所以AC=3或5.又因为AB和DE是对应边，所以DE的对应边是AC或BC,所以DF的长可能是3或4或5.