数学人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算同步练习题

这是一份数学人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算同步练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，则|eq \x\t(z)＋3i|＝( C )
A．8 B．4
C．2eq \r(2) D．eq \r(2)
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，则复数z＝－2＋i，所以eq \x\t(z)＋3i＝－2＋2i，
则|eq \x\t(z)＋3i|＝|－2＋2i|＝eq \r(－22＋22)＝2eq \r(2).
故选C．
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，则复数z1－z2＝( B )
A．－1＋2i B．－2－2i
C．1＋2i D．1－2i
[解析] eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0,1)，
∴z1＝－2－i，z2＝i，
∴z1－z2＝－2－2i.
4．(2023·杭州高一检测)已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( B )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
5．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝eq \r(5)，|AC|＝|4＋2i|＝eq \r(20)，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
二、填空题
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝_5__.
[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝eq \r(32＋42)＝5.
7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝_－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8，))
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
8．已知|z|＝eq \r(5)，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝_2±i__.
[解析] 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,y＋4≠0，,x2＋y2＝5，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))∴z＝2±i.
三、解答题
9．已知复数z满足2z－eq \x\t(z)＝1＋3i，求复数z.
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，
所以2z－eq \x\t(z)＝2(a＋bi)－(a－bi)＝a＋3bi＝1＋3i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,3b＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
所以z＝1＋i.
10．(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|.
(2)设向量eq \(OZ1,\s\up6(→))及eq \(OZ2,\s\up6(→))在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] (1)|z1＋z2|和|z1－z2|是以eq \(OZ1,\s\up6(→))和eq \(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．
如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)知，四边形为正方形，
∴另一条对角线的长|z1－z2|＝eq \r(2).
(2)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.
如图所示，eq \(Z2Z1,\s\up6(→))即为z1－z2所对应的向量．
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向被减向量的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( BD )
A．z的虚部为i B．z的虚部为1
C．z＝－eq \f(3,4)－i D．z＝eq \f(3,4)＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝2＋i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)，,y＝1，))∴z＝eq \f(3,4)＋i.
∴z的虚部为1.
2．▱ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则eq \(DC,\s\up6(→))对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
3．i是虚数单位，若复数z满足|z－3i|＝2，则|z|的取值范围是( A )
A．[1,5] B．[3－eq \r(2)，3＋eq \r(2)]
C．[0,5] D．[0,3＋eq \r(2)]
[解析] 在复平面内，若复数z满足|z－3i|＝2，
则复数z对应的点Z的轨迹是以(0,3)为圆心，半径为2的圆，
|z|几何意义是点Z到原点的距离，
∴3－2≤|z|≤3＋2，
所以|z|的取值范围是[1,5]．
故选A．
二、填空题
4．若复数z满足3z＋eq \x\t(z)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝ eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)i .
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，
因为3z＋eq \x\t(z)＝1＋i，所以3(a＋bi)＋a－bi＝1＋i，
即4a＋2bi＝1＋i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝1，,2b＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))所以z＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)i.
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，eq \x\t(z)2＝－2＋i，则f(z1－z2)＝ 5eq \r(2) .
[解析] ∵eq \x\t(z)2＝－2＋i，∴z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5eq \r(2).
三、解答题
6．设z∈C，满足z＋eq \f(1,z)∈R，且z－eq \f(1,4)是纯虚数，求z.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋eq \f(1,z)＝x＋yi＋eq \f(1,x＋yi)
＝x＋eq \f(x,x2＋y2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y,x2＋y2)))i.
∵z＋eq \f(1,z)∈R，∴y－eq \f(y,x2＋y2)＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－eq \f(1,4)＝x＋yi－eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＋yi是纯虚数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)＝0，,y≠0，))∴x＝eq \f(1,4)，代入x2＋y2＝1中，解得y＝±eq \f(\r(15),4)，
∴复数z＝eq \f(1,4)±eq \f(\r(15),4)i.
C 组·探索创新
复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于( C )
A．10 B．25
C．100 D．200
[解析] 由|z1＋z2|＝|z1－z2|可知，eq \(OM1,\s\up6(→))⊥eq \(OM2,\s\up6(→))，
故△OM1M2为直角三角形，故有|z1|2＋|z2|2＝|eq \(OM1,\s\up6(→))|2＋|eq \(OM2,\s\up6(→))|2＝|eq \(M1M2,\s\up6(→))|2＝4|eq \(OM,\s\up6(→))|2＝100，故选C．