新教材适用2023_2024学年高中数学第6章平面向量及其应用综合测试新人教A版必修第二册

这是一份新教材适用2023_2024学年高中数学第6章平面向量及其应用综合测试新人教A版必修第二册，共9页。

第六章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D )A．eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→)) B．eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＝0C．0·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0 D．eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))[解析]　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))；eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BA,\s\up6(→))是一对相反向量，它们的和应该为零向量，eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＝0；0·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0.2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \o(EB,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))( A )A．eq \o(AD,\s\up6(→)) B．eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))C．eq \o(BC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))[解析]　如图，eq \o(EB,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))＝(eq \o(EF,\s\up6(→))＋eq \o(FB,\s\up6(→)))＋(eq \o(FE,\s\up6(→))＋eq \o(EC,\s\up6(→)))＝eq \o(FB,\s\up6(→))＋eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \o(AD,\s\up6(→)).3．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,6)，那么a等于( C )A．1 B．2C．4 D．1或4[解析]　在△ABC中，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，cos B＝eq \f(\r(3),2)，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accos B，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1(舍去)．故a的值为4.4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( C )A．－6 B．－5C．5 D．6[解析]　c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即eq \f(9＋3t＋16,5|c|)＝eq \f(3＋t,|c|)，解得t＝5.故选C．5．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是( B )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)[解析]　a与a＋2b方向相同，则存在实数λ(λ>0)使a＝λ(a＋2b)，即b＝eq \f(1－λ,2λ)a.∵a＝(1,1)，∴|a|2＝2，∴a·b＝a2·eq \f(1－λ,2λ)＝eq \f(1－λ,λ)，∵λ>0，∴a·b>－1.6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D的北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是( A )A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m[解析]　如图，设水柱高AB＝h m.依题意有∠ADB＝45°，∠BDC＝90°－30°＝60°，∠ACB＝30°，且AB⊥BD，AB⊥BC．由图可知，BD＝AB＝h，BC＝eq \f(h,tan 30°)＝eq \r(3)h，CD＝100，又∵∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 60°，即(eq \r(3)h2)＝h2＋1002－100h，解得h＝50.7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq \r(6)，cos A＝eq \f(7,8)，则△ABC的面积S为( A )A．eq \f(\r(15),2) B．eq \r(15)C．eq \f(8\r(15),5) D．6eq \r(3)[解析]　由b2－bc－2c2＝0，整理得b2－c2＝c2＋bc，即b－c＝c，b＝2c.由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4c2＋c2－6,4c2)＝eq \f(7,8)，得c2＝4，c＝2，b＝4.又sin A＝eq \f(\r(15),8)，∴S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(\r(15),2).故选A．8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))的最小值是( D )A．2 B．0 C．－1 D．－2[解析]　由平行四边形法则得eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＝2eq \o(PO,\s\up6(→))，故(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))＝2eq \o(PO,\s\up6(→))·eq \o(PC,\s\up6(→))，又|eq \o(PC,\s\up6(→))|＝2－|eq \o(PO,\s\up6(→))|，且eq \o(PO,\s\up6(→))，eq \o(PC,\s\up6(→))反向，设|eq \o(PO,\s\up6(→))|＝t(0≤t≤2)，则(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))＝2eq \o(PO,\s\up6(→))·eq \o(PC,\s\up6(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))取得最小值－2，故选D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( AD )A．(4，－8) B．(8,4)C．(－4，－8) D．(－4,8)[解析]　设b＝λa＝(λ，－2λ)，由|b|＝4|a|，得eq \r(λ2＋2λ2)＝4eq \r(5)，解得λ＝±4，故选AD．10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角则( BC )A．a＝bB．a·(a＋b)＝b·(a＋b)C．|a|＝|b|D．|a＋b|＝|a－b|[解析]　如图，四边形OACB为平行四边形，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，因为a＋b平分a与b的夹角，即eq \o(OC,\s\up6(→))是∠AOB的角平分线，所以∠BOC＝∠AOC，所以四边形OACB为菱形，所以|a|＝|b|；又因为a·(a＋b)＝|a||a＋b|cos∠AOC，b·(a＋b)＝|b||a＋b|cos∠BOC，所以a·(a＋b)＝b·(a＋b)，综上可得B、C正确．11．若△ABC为钝角三角形，且a＝2，b＝3，则边c的长度可以为( AD )A．2 B．3 C．eq \r(10) D．4[解析]　由三角形的边长能构成三角形，则有1