高中数学5.5 三角恒等变换第一课时一课一练

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1．sin 460°sin(－160°)＋cs 560°cs(－280°)＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2)B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2)D． eq \f(\r(3),2)
【答案】B
【解析】原式＝－sin 100°sin 160°＋cs 200°cs 280°＝－sin 80°sin 20°－cs 20°cs 80°＝－(cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cs 60°＝－ eq \f(1,2).
2．sin 7°cs 23°＋sin 83°cs 67°的值为( )
A．－ eq \f(1,2)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)D．－ eq \f(\r(3),2)
【答案】B
【解析】sin 7°cs 23°＋sin 83°cs 67°＝cs 83°cs 23°＋sin 83°sin 23°＝cs (83°－23°)＝cs 60°＝ eq \f(1,2).
3．已知cs α＝－ eq \f(3,5)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝－ eq \f(12,13)，β是第三象限角，则cs (β－α)的值是( )
A．－ eq \f(33,65)B． eq \f(63,65)
C． eq \f(56,65)D．－ eq \f(16,65)
【答案】A
【解析】因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin α＝ eq \f(4,5).因为β是第三象限角，所以cs β＝－ eq \f(5,13).所以cs (β－α)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－ eq \f(33,65).
4．若cs (α－β)＝ eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2＝( )
A． eq \f(8,3)B．－ eq \f(8,3)
C． eq \f(2\r(2),3)D．－ eq \f(2\r(2),3)
【答案】A
【解析】原式＝2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)＝2＋2cs (α－β)＝2＋2× eq \f(1,3)＝ eq \f(8,3).
5．计算 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),sin α＋cs α)的值是( )
A． eq \r(2)B．－ eq \r(2)
C． eq \f(\r(2),2)D．－ eq \f(\r(2),2)
【答案】C
【解析】 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),sin α＋cs α)＝ eq \f(cs \f(π,4)cs α＋sin \f(π,4)sin α,sin α＋cs α)＝ eq \f(\f(\r(2),2)(sin α＋cs α),sin α＋cs α)＝ eq \f(\r(2),2).
6．若α∈[0，π]，sin eq \f(α,3)sin eq \f(4α,3)＋cs eq \f(α,3)cs eq \f(4α,3)＝0，则α的值是( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,3)D． eq \f(π,2)
【答案】D
【解析】因为cs eq \f(4α,3)cs eq \f(α,3)＋sin eq \f(4α,3)sin eq \f(α,3)＝0，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4α,3)－\f(α,3)))＝0，所以cs α＝0.又因为α∈[0，π]，所以α＝ eq \f(π,2).故选D.
7．(2023年漠河月考)已知cs (α－β)cs α＋sin (α－β)sin α＝－ eq \f(4,5)，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sin β的值是( )
A． eq \f(4,5)B．－ eq \f(4,5)
C．－ eq \f(3,5)D． eq \f(3,5)
【答案】C
【解析】∵cs (α－β)cs α＋sin (α－β)sin α＝cs (α－β－α)＝cs (－β)＝cs β＝－ eq \f(4,5)，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，∴sin β＝－ eq \r(1－cs2β)＝－ eq \f(3,5).故选C.
8．已知sinα＝ eq \f(15,17)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为________．
【答案】 eq \f(7\r(2),34)
【解析】因为sin α＝ eq \f(15,17)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－ eq \r(1－sin2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))\s\up12(2))＝－ eq \f(8,17).所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cs eq \f(π,4)cs α＋sin eq \f(π,4)sin α＝ eq \f(\r(2),2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))＋ eq \f(\r(2),2)× eq \f(15,17)＝ eq \f(7\r(2),34).
9．在△ABC中，sin A＝ eq \f(4,5)，cs B＝－ eq \f(12,13)，则cs (A－B)＝________．
【答案】－ eq \f(16,65)
【解析】因为cs B＝－ eq \f(12,13)，且0＜B＜π，所以 eq \f(π,2)＜B＜π.所以sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝ eq \f(5,13)，且0＜A＜ eq \f(π,2)，所以csA＝ eq \r(1－sin2A)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝ eq \f(3,5)，所以cs(A－B)＝cs A cs B＋sin A sin B＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋ eq \f(4,5)× eq \f(5,13)＝－ eq \f(16,65).
10．若0＜α＜ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)＜β＜0，cs α＝ eq \f(1,3)，cs eq \f(β,2)＝ eq \f(\r(6),3)，求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))的值．
解：由cs α＝ eq \f(1,3)，0＜α＜ eq \f(π,2)，得sin α＝ eq \f(2\r(2),3).
由cs eq \f(β,2)＝ eq \f(\r(6),3)，－ eq \f(π,4)＜ eq \f(β,2)＜0，得sin eq \f(β,2)＝－ eq \f(\r(3),3).
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝cs αcs eq \f(β,2)＋sin αsin eq \f(β,2)＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(6),3)＋ eq \f(2\r(2),3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－ eq \f(\r(6),9).
B级——能力提升练
11．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－ eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值是( )
A．－ eq \f(2\r(3),3)B．± eq \f(2\r(3),3)
C．－1D．±1
【答案】C
【解析】cs x＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋ eq \f(1,2)cs x＋ eq \f(\r(3),2)×sin x＝ eq \f(3,2)cs x＋ eq \f(\r(3),2)sin x＝ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝ eq \r(3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)cs x＋sin \f(π,6)sin x))＝
eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.
12．(多选)下列关于函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))·cs x－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sin x的性质叙述中正确的是( )
A．最小正周期为πB．函数图象关于直线x＝ eq \f(3π,8)对称
C．函数图象关于直线x＝－ eq \f(π,8)对称D．函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称
【答案】ABC
【解析】函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cs x－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sin x＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cs (－x)＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sin (－x)＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)－(－x)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，所以函数的最小正周期是π，由2x＋ eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,8)，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,8)，k∈Z对称，故选项B，C正确．由2x＋ eq \f(π,4)＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,8)，k∈Z，所以函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，0))对称，k∈Z，故选项D错误．
13．化简： eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)＝________．
【答案】 eq \r(3)
【解析】原式＝ eq \f(2cs (30°－20°)－sin 20°,cs 20°)
＝ eq \f(2cs 30°cs 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°,cs 20°)
＝ eq \f(\r(3)cs 20°＋sin 20°－sin 20°,cs 20°)＝ eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝ eq \r(3).
14．若0＜α＜ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)＜β＜0，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,3)，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(3),3)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝_______，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝________．
【答案】 eq \f(\r(6),3) eq \f(5\r(3),9)
【解析】因为0＜α＜ eq \f(π,2)，所以 eq \f(π,4)＜ eq \f(π,4)＋α＜ eq \f(3π,4).又因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,3)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(2\r(2),3).因为－ eq \f(π,2)＜β＜0，所以 eq \f(π,4)＜ eq \f(π,4)－ eq \f(β,2)＜ eq \f(π,2).又因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(3),3)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(\r(6),3).于是cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),3)＋ eq \f(2\r(2),3)× eq \f(\r(6),3)＝ eq \f(5\r(3),9).
15．已知A(cs α，sin α)，B(cs β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝ eq \f(\r(10),5).
(1)求cs (α－β)的值；
(2)若cs α＝ eq \f(3,5)，求cs β的值．
解：(1)由|AB|＝ eq \f(\r(10),5)，
得 eq \r((cs α－cs β)2＋(sin α－sin β)2)＝ eq \f(\r(10),5)，
所以2－2(cs αcs β＋sin αsin β)＝ eq \f(2,5).
所以cs (α－β)＝ eq \f(4,5).
(2)因为cs α＝ eq \f(3,5)，cs (α－β)＝ eq \f(4,5)，α，β为锐角，
所以sin α＝ eq \f(4,5)，sin (α－β)＝± eq \f(3,5).
当sin (α－β)＝ eq \f(3,5)时，cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)＝ eq \f(24,25).
当sin (α－β)＝－ eq \f(3,5)时，cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)＝0.
因为β为锐角，所以cs β＝ eq \f(24,25).