新教材2024版高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末检测新人教A版选择性必修第二册

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第五章章末检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2022年长治月考)下列求导不正确的是 (　　)A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2　　 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin x,x2)))′＝ eq \f(2x cos x＋4sin x,x3)　　 D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x【答案】C　【解析】[(3x＋5)3]′＝(3x＋5)′·3(3x＋5)2＝9(3x＋5)2，故A正确；(x3ln x)′＝(x3)′·ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin x,x2)))′＝ eq \f((2sin x)′x2－2sin x·(x2)′,x4)＝ eq \f(2x cos x－4sin x,x3)，故C错误；(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选C.2．(2023年安徽期中)曲线y＝xex＋2x－2在x＝0处的切线方程是 (　　)A．3x＋y＋2＝0　　 B．2x＋y＋2＝0C．2x－y－2＝0　　 D．3x－y－2＝0【答案】D　【解析】y＝xex＋2x－2，则y′＝(x＋1)ex＋2，当x＝0时，y＝－2，y′＝3，所以切线方程为y－(－2)＝3x，即3x－y－2＝0.故选D.3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为 (　　)A．－ eq \f(1,5) B．0 C． eq \f(1,5) D．5【答案】B　【解析】由切线斜率的几何意义和周期函数的意义，知f′(5)＝f′(0)＝0.4．(2023年新疆期末)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①x＝－2是函数y＝f(x)的极值点；②x＝1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．其中正确命题的序号是 (　　)A．①②　　 B．②④　 C．②③　　 D．①④【答案】D　【解析】根据导函数图象可知，f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故x＝－2是极值点，①正确，②错误，④正确；对于③，x＝0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，③错误．故选D.5．函数f(x)＝ eq \f(1,3)ax3＋ eq \f(1,2)ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是 (　　)A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)，\f(6,7))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，－\f(3,16)))C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，－\f(1,16))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,10)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，＋∞))【答案】D　【解析】f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)ex的解集为 (　　)A．{x|x>0}　　 B．{x|xex⇒ eq \f(f(x),ex)>1，设g(x)＝ eq \f(f(x),ex)⇒g′(x)＝ eq \f(f′(x)－f(x),ex)1⇒g(x)>g(0)⇒x0时， eq \f(xf′(x)－f(x),x2)>0，且f(－1)＝0，则不等式 eq \f(f(x),x)>0的解集是 (　　)A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】D　【解析】由题意知，当x>0时， eq \f(xf′(x)－f(x),x2)＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),x)))′>0，则函数 eq \f(f(x),x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断 eq \f(f(x),x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以 eq \f(f(x),x)在(－∞，0)上单调递增，而f(－1)＝0，则 eq \f(f(－1),－1)＝0， eq \f(f(1),1)＝0.所以当x∈(－1，0)∪(1，＋∞)时， eq \f(f(x),x)>0.故选D.8．(2022年汕头三模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ eq \f(1,2)ae2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是 (　　)A．(－∞，0]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，0]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C．(－∞，0]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪[0，＋∞)【答案】A　【解析】∵f(x)＝(x－1)ex－ eq \f(1,2)ae2x＋ax，∴f′(x)＝xex－ae2x＋a.∵f(x)只有一个极值点，∴f′(x)只有一个变号零点．(1)当a＝0时，f′(x)＝xex，易知x＝0是f(x)的唯一极值点；(2)当a≠0时，方程f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0可化为 eq \f(1,a)x＝ex－e－x，令g(x)＝ eq \f(1,a)x，h(x)＝ex－e－x，可得两函数均为奇函数，∴只需判断当x＞0时，两函数的图象无交点即可．①当a＜0时，g(x)＝ eq \f(1,a)x＜0，h(x)＝ex－e－x＞0，∴g(x)与h(x)的图象有唯一交点x＝0，且当x＞0时，g(x)＜h(x)，当x＜0时，g(x)＞h(x)，∴x＝0是f(x)的唯一极值点；②当a＞0时，h′(x)＝ex＋e－x＞0，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0，lim eq \o(,\s\do4(,x→＋∞))h(x)＝＋∞.设h(x)过原点的切线为y＝kx，切点为(m，km)(m＞0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(em＋e－m＝k，,km＝em－e－m，))解得m＝0，k＝2，如图所示，当y＝ eq \f(1,a)x的图象在直线y＝2x下方(第一象限)或与直线y＝2x重合时，x＝0是唯一交点，能满足f′(x)＝0的变号零点，即函数f(x)的极值点，∴a≥ eq \f(1,2).综上所述，实数a的取值范围为(－∞，0]∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (　　)A．直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3B．直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2C．直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin xD．直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x【答案】ACD　【解析】y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，显然曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l，即x轴的两侧，A正确；因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1的斜率不存在，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，B错误；y′＝cos x，y′|x＝0＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，令g(x)＝sin x－x，g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递减，且g(0)＝0，所以曲线C：y＝sin x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，C正确；y′＝ eq \f(1,cos2x)，y′|x＝0＝ eq \f(1,cos20)＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，所以曲线C：y＝tanx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，D正确．10．(2022年运城期末)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，函数f(x)对任意的x∈R，都满足f′(x)>f(x)，则下列不等式成立的是 (　　)A．ef(0)f(1)C．f(2)e4f(－2)【答案】AD　【解析】令g(x)＝ eq \f(f(x),ex)(x∈R)，g′(x)＝ eq \f(f′(x)－f(x),ex)，因为f′(x)>f(x)，ex>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(0)