A级——基础过关练
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
【答案】A
2．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且 eq \f(f′(x),2－x)＞0对任意x≠2恒成立，则( )
A．f(x)在(－∞，2)上单调递减B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．f(x)在R上单调递减D．f(x)在R上单调递增
【答案】B 【解析】 eq \f(f′(x),2－x)＞0对任意x≠2恒成立，所以当x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
3．(2022年四川模拟)函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为( )
A．(0，2) B．(0，e)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))D．(2，＋∞)
【答案】A 【解析】由题可知，函数定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝1－ eq \f(2,x)＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2).故选A.
4．(2023年内蒙古模拟)已知函数f(x)＝a ln x－ eq \f(1,2)x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[－9，＋∞) B．(－9，＋∞)
C．(－∞，－9) D．(－∞，－9]
【答案】D 【解析】由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ eq \f(a,x)－x＋6.因为f(x)＝a ln x－ eq \f(1,2)x2＋6x在定义域内单调递减，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即 eq \f(a,x)－x＋6≤0，可转化为a≤x2－6x在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤(x2－6x)min.因为y＝x2－6x＝(x－3)2－9，所以(x2－6x)min＝－9，所以a≤－9.因此实数a的取值范围是(－∞，－9].故选D.
5．(2023年成都月考)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B))
eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【答案】C 【解析】由f′(x)的图象可得，当x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当0x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增．仅有选项C符合以上要求．故选C.
6．函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－9ln x，在区间[m－1，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m≥4C．1【答案】C 【解析】函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－9ln x(x>0)，则f′(x)＝x－ eq \f(9,x)＝ eq \f(x2－9,x).因为f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m－1，m＋1))上单调递减，则f′(x)≤0在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m－1，m＋1))上恒成立，即x2－9≤0，所以00，,m＋1≤3，))解得17．(多选)下列叙述中正确的是( )
A．若f(x)在区间(a，b)上单调递增，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0
B．若在区间(a，b)上对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)上单调递增
C．若f(x)在区间(a，b)上是单调的，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在区间(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
【答案】AB 【解析】f(x)在区间(a，b)上是否单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错误；f(x)＝2在区间(a，b)上的导数存在，但f(x)无单调性，故D错误．A，B正确．
8．(2022年河北月考)函数f(x)＝ln x－x2的单调递减区间为________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)) 【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝ eq \f(1,x)－2x＝ eq \f(1－2x2,x)，当x> eq \f(\r(2),2)时，f′(x)<0，此时函数单调递减．
9．若函数f(x)＝x＋a ln x在区间(0，＋∞)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】(－∞，0) 【解析】函数f(x)＝x＋a ln x的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝1＋ eq \f(a,x)，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当a<0时，函数f(x)不是单调函数．则实数a的取值范围是(－∞，0).
10．已知函数f(x)＝2ax－ eq \f(1,x2)，若f(x)在(0，1]上单调递增，求a的取值范围．
解：∵f′(x)＝2a＋ eq \f(2,x3)，f(x)在(0，1]上单调递增，
∴x∈(0，1]时f′(x)≥0恒成立，
即a≥－ eq \f(1,x3)在x∈(0，1]时恒成立，
∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞).
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－2] B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,8)))D．(－2，＋∞)
【答案】D 【解析】f′(x)＝ eq \f(1,x)＋2ax，若f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))内存在单调递增区间，则f′(x)＞0在x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))内有解，故a＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2x2))) eq \s\d7(min)，而g(x)＝－ eq \f(1,2x2)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))内单调递增，∴g(x)＞g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2，故a＞－2.
12．(多选)(2021年张家港期中)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( )
A．f(x)＝x4B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xexD．f(x)＝ex－e－x－2x
【答案】BD 【解析】根据题意，依次分析选项，对于A，f(x)＝x4，其导数f′(x)＝4x3，在区间(－∞，0)上有f′(x)<0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于B，f(x)＝x－sin x，其导数f′(x)＝1－cs x，在(－∞，＋∞)上有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝xex，其导数f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，有f′(x)<0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于D，f(x)＝ex－e－x－2x，其导数f′(x)＝ex＋e－x－2，因为f′(x)＝ex＋e－x－2≥2 eq \r(ex·ex)－2＝2－2＝0，有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意．
13．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是____________．
【答案】(3，27) 【解析】函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则f′(x)在区间(－3，－1)上有根，∴f′(x)＝3x2－k＝0在(－3，－1)上有解，即k＝3x2在区间(－3，－1)上有解．又∵3x2∈(3，27)，∴k的取值范围是(3，27).
14．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0).若f(x)的单调递减区间是(0，4)，实数k的值为________；若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】 eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) 【解析】对函数求导数，得f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，∵函数的单调递减区间是(0，4)，∴f′(4)＝0，解得k＝ eq \f(1,3)；若f(x)在(0，4)上单调递减，则3kx2＋6(k－1)x≤0在(0，4)上恒成立，即k≤ eq \f(2,x＋2)在(0，4)上恒成立，故k≤ eq \f(1,3)，而k＞0，故k∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).
15．已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解：f′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，
若a≥1，则Δ≤0，f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增；
若a<1，则Δ>0，方程x2＋2a＋a＝0有两个不同的实数根x1＝－1－ eq \r(1－a)，x2＝－1＋ eq \r(1－a).
当xx2时，f′(x)>0；
当x1综上可知，当a≥1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－ eq \r(1－a))和(－1＋ eq \r(1－a)，＋∞)，单调递减区间为(－1－ eq \r(1－a)，－1＋ eq \r(1－a)).