【课时练】(湘教版) 2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练基础卷

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2023-2024学年初中数学八年级上册 5.3 二次根式的加法和减法 同步分层训练基础卷(湘教版)一、选择题1．（2023八上·江北期末）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（　　）A．9 B．15 C．8 D．1122．（2023八上·桂平期末）下列运算结果正确的是（　　）A．3+7=10 B．3+7=37 C．3×7=21 D．27−7=73．（2020八上·西安期中）下列二次根式中，不能与 3 合并的是（　　） A．12 B．8 C．48 D．1084．（2023八上·西安期末）下列计算正确的是（　　）A．2+3=5 B．8−2=2 C．3×6=23 D．27÷3=35．（2022八上·将乐期中）下列等式成立的是（　　）A．6÷2=3 B．±0.16=±0.4C．(−6)2=−6 D．2+2=226．（2022八上·嘉定期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．136，372 B．35，15 C．1212，13 D．8，237．（2022八上·昌平期中）若最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，则x的值为（　　）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝38．（2022八上·新城月考）已知二次根式32−a与8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．（2021八上·房山期中）写出20的一个同类二次根式（注：被开方数不是20）　 　．10．（2022八上·黄浦期中）若最简二次根式1−2a和b−17是同类二次根式，那么a+b的值是　 　． 11．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将23+1进一步化简，如：23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1则21+5+25+9+29+13+...+24n−1+4n+3=　 　.12．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将23+1进一步化简，如： 23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1则 21+5+25+9+29+13+⋯+24n−1+4n+3＝　 　.13．（2022八上·济南期中）若最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，则2a﹣b＝　 　．三、解答题14．（2022八上·黄浦月考）先化简：ab+baa+b⋅ab，再求当a=12+1，b=12−1时的值．15．（2022八上·青浦期中）已知x=17−5，y=17+5，求代数式x2−xy+y2的值．四、计算题16．（2023八上·绍兴月考）计算：（1）12−38+218；（2）415×23÷5．五、综合题17．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+22×3=(2+3)8+27=(1+7)+21×7=12+(7)2+2×1×7=(1+7)2（1）【类比归纳】请你仿照小明的方法将7+210化成另一个式子的平方．（2）【变式探究】若a+221=(m+n)2且a，m，n均为正整数，求a值.18．（2022八上·赵县期末）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．（1）尝试：①当a=1时，152=225=1×2×100+25 ；②当a=2时，252=625=2×3×100+25；③当a=3时，352= 1225=　 　；．．．．．．（2）归纳：a5——2与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若a5——2与100a的差为2525，求a的值．答案解析部分1．【答案】D【知识点】同类二次根式【解析】【解答】解：A.9=3，与3不是同类二次根式；B.15与3不是同类二次根式；C.8=22，与3不是同类二次根式；D.112=1212=36，与3是同类二次根式；故答案为：D.【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.2．【答案】C【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A、3与7不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；B、3与7不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；C、3×7=21，故符合题意；D、27与7不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；故答案为：C.【分析】根据二次根的加减、二次根式的乘法逐项判断即可.3．【答案】B【知识点】同类二次根式【解析】【解答】解：A、 12=23 与 3 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意； B、 8=22 与 3 被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项符合题意；C、 48=43 与 3 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意；D、 108=63 与 3 被开方数相同，是同类二次根式，能进行合并，故本选项不符合题意.故答案为：B.【分析】由二次根式的性质“a2=a”将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”即可判断求解.4．【答案】D【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A.2与3不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；B.8−2=22−2=2，故本选项错误，不符合题意；C.3×6=18=32，故本选项错误，不符合题意；D.27÷3=9=3，故本选项正确，符合题意.故答案为：D.【分析】同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的乘除法法则可判断C、D.5．【答案】B【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A、6÷2=3，原计算错误，该选项不符合题意；B、±0.16=±0.4，正确，该选项符合题意；C、(−6)2=6，原计算错误，该选项不符合题意；D、2与2不是同类二次根式，不能进一步计算，该选项不符合题意；故答案为：B.【分析】根据二次根式的除法法则可判断A；根据二次根式的性质a2=|a|可判断B、C；根据同类二次根式的概念可判断D.6．【答案】C【知识点】同类二次根式【解析】【解答】解：A、 372=362×2=3×62=182 ，所以 136，372 不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、 35，15 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、 1212=1222×3=12×23=3，13=332=133 ，所以 1212，13 是同类二次根式，故本选项符合题意；D、 8=22×2=22，23=2×332=136 ，所以 8，23 不是同类二次根式，故本选项不符合题意．故答案为：C．【分析】先化简， 再根据同类项二次根式的定义逐项判断即可。7．【答案】D【知识点】最简二次根式；同类二次根式【解析】【解答】解：∵最简二次根式x+3与2x最简二次根式是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，故答案为：D．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得x+3＝2x，再求出x的值即可。8．【答案】C【知识点】同类二次根式【解析】【解答】解：8=22，∵二次根式32−a与8化成最简二次根式后被开方数相同，∴32−a≥0且a>0，即00，求出a的范围，然后分别令32-a=2、32-a=22×2、32-a=32×2，求出a的值即可.9．【答案】5（答案不唯一）【知识点】同类二次根式【解析】【解答】解：∵20=25，∴20=25的同类二次根式可以为5．故答案为：5（答案不唯一）．【分析】根据同类二次根式的定义求解即可。10．【答案】0【知识点】最简二次根式；同类二次根式【解析】【解答】解：∵最简二次根式 1−2a 和 b−17 是同类二次根式， ∴1−2a=7 ， b−1=2 ，∴a=−3 ， b=3 ，∴a+b=−3+3=0 ，故答案为0．【分析】根据同类二次根式的定义可得1−2a=7 ， b−1=2 ，求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。11．【答案】12(4n+3−1)【知识点】二次根式的混合运算【解析】【解答】解：∵21+5=2×(5−1)(5+1)(5−1)=12(5−1)，25+9=2×(9−5)(9+5)(9−5)=12(9−5)……∴21+5+25+9+29+13+...+24n−1+4n+3=12(5−1)+12(9−5)+⋯⋯+12(4n+3−4n−1)=12(5−1+9−5+⋯⋯+4n+3−4n−1)=12(4n+3−1)，故答案为：12(4n+3−1).【分析】根据题干提供的方法将各个加数分别化简，再逆用乘法分配律提取公因数“12”进行变形，接着计算括号内的加减法即可得出答案.12．【答案】12 （ 4n+3 ﹣1）【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵21+5=2(5−1)(5+1)(5−1)=12(5−1)，25+9 ＝ 2(9−5)(9+5)(9−5)=12(9−5) .，……， ∴21+5+25+9+29+13+⋯+24n−1+4n+3=12(5−1)+12(9−5)+⋯⋯+12(4n+3−4n−1)=12(5−1+9−5+⋯⋯+4n+3−4n−1)＝ 12 （ 4n+3 ﹣1），故答案为： 12 （ 4n+3 ﹣1）.【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.13．【答案】9【知识点】最简二次根式；同类二次根式【解析】【解答】解：∵最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。14．【答案】解：原式=ab⋅ab+ba⋅aba+b=aab2+ba2ba+b=aba+abba+b=ab(a+b)a+b=ab，当a=12+1，b=12−1时，原式=12+1×12−1=1(2+1)(2−1)=1【知识点】二次根式的化简求值【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将a=12+1，b=12−1代入计算即可。15．【答案】解：∵x=17−5，y=17+5，∴x=17−5=7+52，y=17+5=7−52，∴x+y=7，xy=12，∴x2−xy+y2=(x+y)2−3xy=(7)2−32=112．【知识点】二次根式的化简求值【解析】【分析】利用分母有理化化简x，y，再求出x+y、xy的值，再整体代入计算即可.16．【答案】（1）解：原式=23-62+62=23；（2）解：原式=815×3÷5=8×3=24.【知识点】二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质简化并合并同类项得到结果；（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算得到结果.17．【答案】（1）解：7+210=2+5×210=22+52+2×2×5=2+52；（2）解：∵m+n=a，mn=21， 又∵ a，m，n均为正整数 ，∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，∴a=22或10.【知识点】二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.18．【答案】（1）3×4×100+ 25（2）解：a5——2= 100a(a+1)+ 25，理由如下：a5——2= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25（3）解：由题知，a5——2 - 100a = 2525，即100a2+ 100a+ 25- 100a = 2525，解得a=5或-5 (舍去)，∴a的值为5．【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的化简求值；探索数与式的规律【解析】【解答】解：(1) ∵①当a=1时，152= 225=1×2×100+ 25；②当a=2时，252 =625=2×3×100+25 ；③当a=3时，352 =1225= 3×4×100+ 25，故答案为： 3×4×100+ 25；【分析】（1）根据数字变化规律进行分析。（2） a5——2= (10a+ 5)(10a + 5)= 100a2 + 100a+ 25 = 100a(a+1)+ 25 。（3）结合（2），列方程求解。