初中数学湘教版八年级上册第5章 二次根式5.1 二次根式精品测试题

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1．（2023八下·江门期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．16B．23C．5D．1.5
2．（2023八下·东阳期末）若二次根式2−x在实数范围内有意义，则下列各数中，x可取的值是（ ）
A．4B．πC．﹣1D．3
3．（2023八下·丰满期末） 二次根式a在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a>0C．a≤0D．a<0
4．（2023七下·黄埔期末）下列计算中正确的是（ ）
A．16=±4B．(−3)2=−3C．−25=−5D．3−13=−313
5．（2023八下·连江期末）函数y=3−x的自变量x的取值范围是（ ）
A．x<3B．x≤3C．x>3D．x≥3
6．（2023七下·闽清期末）若a+b+5+|2a−b+1|=0，则(b−a)2023的值是（ ）
A．-1B．1C．52023D．−52023
7．（2023八下·相城期末）根式25−10x+x2(x≥5)化简得（ ）
A．5-xB．±（x-5）C．(x-5)2D．x-5
8．（2017八上·郑州期中）下列式子正确的是（ ）
①(3−π)2=π−3 ；②−16−25=−16−25=45 ；③414=2+12 ；④2+3=23 ；⑤(−4)2 的平方根是−4
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
9．（2023八下·江门期末）若二次根式x+4在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
10．（2023八下·凤阳期末）若使二次根式a−5有意义，则a的取值范围是 ．
11．（2023八下·船营期末）若x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023八下·东阳期末）把34化为最简二次根式，结果是 ．
13．（2023八下·闽侯期末）“a2=a”是假命题，举一个反例a= .
三、解答题
14．（2023八下·蒙城期中）先化简，再求值：(a+ba−b+ab−a)÷b2a2−ab，其中a、b满足|a−3|+b+1=0.
15．（2023八下·蜀山期中）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道(a)2=a(a≥0)，
例题：求3−5+3+5的值．
解：设x=3−5+3+5，两边平方得：
x2=(3−5+3+5)2=(3−5)2+(3+5)2+2(3−5+3+5)，
即x2=3−5+3+5+4，x2=10，
∴x=±10，
∵3−5+3+5>0，
∴3−5+3+5=10，
请利用上述方法，求4−7−4+7的值．
四、综合题
16．（2023八下·息县期末）阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=(m±n)2开方，从而使得x±2y化简．
例如：化简3+22
解：∵3+22=1+2+22=12+(2)2+2×1×2=(1+2)2
∴3+22=(1+2)2=1+2；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）5+26；
（2）7−43．
17．（2023八下·交城期中）已知三角形的三边a，b，c，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中p=a+b+c2）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．
（1）你认为选择 （填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；
（2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、16=4， 不是最简根式，故选项A错误；
B、23=63，不是最简根式，故选项B错误；
C、5是最简根式，故选项C正确；
D、1.5=62，不是最简根式，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】 最简根式是指被开方数的指数与根指数互质、被开方数的每一因式的指数都小于根指数、被开方数不含分母的根式，根据最简根式的定义逐个判断即可．
2．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式2−x在实数范围内有意义，
∴2-x≥0，
∴x≤2.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则2-x≥0，求出x的范围，进而进行判断.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式a在实数范围内有意义，
故答案为：a≥0.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
4．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 16=4，故不符合题意；
B、 (−3)2=3， 故不符合题意；
C、 −25无意义， 故不符合题意；
D、 3−13=−313 ，正确， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、二次根式有意义、二次根式的性质及立方根的意义逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：3-x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】非负数之和为0；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵a+b+5+|2a−b+1|=0，
∴a+b+5=02a-b+1=0，
解得：a=-2，b=-3，
∴b-a=-1
∴(b−a)2023=-1；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可得关于a、b的方程组，解出a、b的值，再代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 25−10x+x2(x≥5)=5-x2=x-5；
故答案为：D.
【分析】将原式化为5-x2，再利用二次根式的性质a2=a化简即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】①(3−π)2=｜3−π｜＝π−3 ，故正确；
②−16−25= 1625 ＝ 45 ，故错误；
③414= 172 ，故错误；
④2+3=2+3 ，故错误；
⑤(−4)2 ＝4， (−4)2 的平方根是±2，故错误.
所以共计1个正确.
故答案为：B.
【分析】①根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，一个负数的绝对值等于它的相反数，即可判断①是错误的；②根据两个正数的商的算术平方根，等于这两个正数的算术平方根的商，即可判断②是错误的；③当被开方数是带分数的时候，需要将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质进行化简；④根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值首先将 (−4)2 化简，再根据平方根的定义求化简结果的平方根，综上所述即可判断出答案。
9．【答案】x≥-4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式x+4在实数范围内有意义，
∴x+4≥0，
∴x≥-4.
故答案为：x≥-4.
【分析】 根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”建立不等式，求解即可求出答案.
10．【答案】a≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：a-5≥0，
∴a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】直接根据被开方数大于等于0，列不等式，解不等式求出解集即可。
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3；
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】32
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：34=32.
故答案为：32.
【分析】34=34，然后对分母进行化简即可.
13．【答案】−2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-2时，a2=-22=2≠a，
故答案为：-2.
【分析】由二次根式的性质可知a2=a=a，（a≥0）-a，（a<0），故只要a<0即可证明原命题是假命题.
14．【答案】解：原式=(a+ba−b−aa−b)×a(a−b)b2
=ba−b×a(a−b)b2
=ab
∵|a−3|+b+1=0
∴a=3，b=−1
∴原式=ab=3−1=−3
【知识点】分式的化简求值；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简，进而根据非负性即可求出a和b，再代入求值即可求解。
15．【答案】解：设x=4−7−4+7，
则x2=(4−7−4+7)2=4−7−2(4−7)(4+7)+4+7=8+6=14，
∴x=±14，
∵4−7−4+7<0，
∴4−7−4+7=−14．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】设x=4−7−4+7，进而得到x2=14，再根据题意得到x＜0即可求解。
16．【答案】（1）解：∵5+26=3+2+26
=(3)2+(2)2+2×3×2
=(3+2)2，
∴5+26=(3+2)2=3+2；
（2）∵7−43=4+3−43
=22+(3)2−2×2×3
=(2−3)2，
∴7−43=(2−3)2=2−3．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用完全平方公式将原式变形，再利用二次根式的性质化简即可.
17．【答案】（1）秦九韶公式
（2）解：∵a=5，b=6，c=7
∴a2=5，b2=6，c2=7
∴S=14×[a2b2−(a2+b2−c22)2]
=14×[5×6−(5+6−72)2]
=14×[30−(42)2]
=14×（30-4）
=132
=262
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别是5，6，7， 都是根号形式，
∴用秦九韶公式能使计算更简便，
故答案为：秦九韶公式.
【分析】（1）观察所给的式子，结合公式判断求解即可；
（2）根据题意先求出a2=5，b2=6，c2=7 ，再结合公式计算求解即可。