湘教版八年级上册5.1 二次根式优秀同步测试题

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一、选择题
1．（2023八下·泸县期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．4B．5C．12D．13
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、4=22，4不是最简二次根式，所以A不符合题意；
B、5是最简二次根式，所以B符合题意；
C、12=22×3，12不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、13被开方数中含有分母，13不是最简二次根式，所以D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据最简二次根式的定义进行识别即可。
2．（2023八下·闽侯期末）若二次根式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≠2D．x≥−2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式x−2在实数范围内有意义，
∴x-2≥0，
x≥2，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
3．（2023八下·萧山期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．4=±2B．6=3
C．4=2D．(−4)×(−9)=−4×−9
【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、4=2，A错误；
B、6是最简二次根式，B错误；
C、4=2，C正确；
D、-4×-9=4×9，D错误，
故答案为：C.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根；
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
4．（2023八下·诸暨期末）下列x的取值中，可以使7−x有意义的是（ ）
A．0B．16C．20D．2023
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
7-x≥0，
解之：x≤7，
∵0＜7，16＞7，20＞7，2023＞7，
故A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，再求出不等式的解集，根据各选项，可得答案.
5．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 |2011−a|+a−2012=a ，那么 a−20112 的值为 ( )
A．2010B．2011C．2012D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵a−2012 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴a−2011+a−2012=a ，
∴a−2012=2011
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为a−2012=2011，两边平方即可求出结论.
6．（2021八下·龙口期中）若二次根式 2−m 有意义，且关于x的分式方程 m1−x +2＝ 3x−1 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ m+52 ，
∵关于x的分式方程 m1−x +2＝ 3x−1 有正数解，
∴m+52 ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， m+52 ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵2−m 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
7．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3+5−3−5 ，设x= 3+5−3−5 ，易知 3+5 > 3−5 ，故x>0，由x2= (3+5−3−5)2 = 3+5+3−5−2(3+5)(3−5) =2，解得x= 2 ，即 3+5−3−5=2 。根据以上方法，化简 3−23+2+6−33−6+33 后的结果为（ ）
A．5+3 6B．5+ 6C．5- 6D．5-3 6
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=6-33-6+33,易知6-33＜6+33，故x＜0，由x2=6-33-6+332=6-33+6+33-2（6-33）（6+33）=6，解得x=-6.6-33-6+33=-6.3-23+2=（3-2）2（3+2）（3-2）=5-26，3−23+2+6−33−6+33=5-26-6=5-36
故答案为：D
【分析】将6-33-6+33利用平方再开方的方式化简，3−23+2进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题
8．（2023八下·柯桥期末）式子x+3有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥−3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x+3有意义，
∴x+3≥0，
∴x≥-3，
故答案为：x≥-3.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
9．（2023八下·大冶期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是 ．
【答案】−2b
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，
∴a-b＜0，
∴原式=-a-b-（b-a）=-a-b-b+a=-2b.
故答案为：-2b
【分析】观察数轴可知-1＜a＜0＜b＜1，可确定出a-b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简即可.
10．（2023七下·黄山期末）数轴上点A表示的数为−2，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，设点B所表示的数为m，则|m−1|−|2−m|= ．
【答案】−1
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵数轴上点A表示的数为−2，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，
∴点B表示的数是2−2，
∴m=2−2，
∴|m−1|−|2−m|=2-2-1-2-2+2=2-1-2=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据题意先求出点B表示的数是2−2，再求出m=2−2，最后化简求值即可。
11．（2023七下·黄浦期末）比较大小：−25 −32(填“>”“<”或“=”)．
【答案】<
【知识点】实数大小的比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵-25=-20，-32=-18，20＞18，∴20＞18∴-20＜-18，∴-25＜-32.
故第一空答案为：＜。
【分析】把根号外非负因式移到根号下，通过比较被开方数的大小，即可得出结论。
12．（2022八下·鄂伦春期末）已知y=x2−4x+4−x+3，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：y=x2−4x+4−x+3=(x−2)2−x+3=|x−2|−x+3，
当x≥2时，y=x−2−x+3=1，
当x<2时，y=2−x−x+3=5−2x，
当x=1时，y=5−2=3，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：3+1×2021=3+2021=2024．
故答案是：2024．
【分析】由y=x2−4x+4−x+3=|x−2|−x+3，再根据绝对值的性质化简，即可求出所对应的y值的总和.
三、解答题
13．（2023八下·合肥期中）若实数x，y满足y=x−1+1−x+2，求x+1y−1的值．
【答案】解：由题意，得
1−x⩾0，x−1≥0，
解得x=1，
当x=1时，y=2．
当x=1，y=2时，x+1y−1=2．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件即可求出x，进而得到y，从而代入x和y即可求解。
14．（2023八下·汤阴期中）在学习了二次根式a2的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值：3a−a2−4a+4，其中a=2
他的做法为：解：原式=3a−(a−2)2=3a−(a−2)=3a−a+2=2a+2
当a=2时，原式=22+2
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
【答案】解：小新同学的做法不正确．
正确过程为：
解：3a−a2−4a+4
=3a−(a−2)2=3a−|a−2|，
当a=2时，原式=32−|2−2|=32+2−2=42−2．
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】本题中的算术平方根和根号内的完全平方式的结果都具有非负性，但括号内的式子可以是任意值，若直接将平方与根号抵消，那最后的结果可能为负数，与题意不符，这也是本题的易错点.
四、综合题
15．（2023八下·曾都期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：2+23=223，验证：2+23=83=223；
第2个等式：3+38=338，验证：3+38=278=338；
第3个等式：4+415=4415，验证：4+415=6415=4415，⋯．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第n−1个(n为正整数，且n≥2)等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：5+524=5524
验证：5+524=12524=5524
（2）第n−1个等式：n+nn2−1=nnn2−1
验证：n+nn2−1=n(n2−1)+nn2−1=n3n2−1=nnn2−1
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第n−1个等式：n+nn2−1=nnn2−1，再验证即可.
16．（2023七下·遵义期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：(1−3x)2−|1−x|．
解：隐含条件1−3x≥0，，解得x≤13，
∴1−x>0，
∴原式=1−3x−(1−x)=1−3x−1+x=−2x．
（1）试化简：(x−3)2−(2−x)2；
（2）已知a、b满足(2−a)2=a+3，a−b+1=a−b+1，求ab的值．
【答案】（1）解：∵2−x≥0，则x≤2，
∴x−3<0
∴(x−3)2−(2−x)2
=|x−3|−(2−x)
=3−x−2+x
=1
（2）解：∵(2−a)2=a+3，a−b+1=a−b+1，
∴|2−a|=a+3≥0，
∴a≥−3，a−b+1≥0，
∴当−3≤a≤2时，
则2−a=a+3，解得：a=−12，
∵a−b+1=a−b+1，
∴a−b+1=0或a−b+1=1，
解得：b=12或b=−12，
∴ab=−14或ab=14，
当a>2时，则a−2=a+3无解，舍去，
综上：ab=−14或ab=14
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x≤2，再根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质分析得出a、b的值即可得出答案。