新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第18讲 向量的数量积问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 点在上方），且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
【解答】解：（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
不满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在不满足条件．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2．
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，顶点在原点且过点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意可设 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 存在直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）的直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条斜率存在且互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解答】解：（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故所求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）假设存在符合题意的直线 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 符合题意的直线 SKIPIF 1 < 0 存在，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由题意可知：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为16．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（不同于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 为原点，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解答】解：（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ；． SKIPIF 1 < 0 （3分）
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线方程联立得到 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （6分）
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （13分）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （14分）．
方法二：证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
于抛物线方程联立得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （6分）
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （9分）
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （13分）
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （14分）
5．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，点 SKIPIF 1 < 0 是它的一个顶点，且其离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）分别求抛物线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）椭圆 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为切点），使得直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 及两切线方程，若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．
由已知可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
否则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合题意，
故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的切线方程分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）假设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意，由（2）知点 SKIPIF 1 < 0 必在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有唯一交点，故 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为切点．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，
经过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为切点），能使直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
此时，两切线的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，并求该圆的方程．
【解答】解：（1）满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以可证：存在一个确定的圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
7．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点 SKIPIF 1 < 0 点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角变化时，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2；
（2） SKIPIF 1 < 0 由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离最小，
最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由题知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得，
SKIPIF 1 < 0 ，
根据根与系数的关系得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
SKIPIF 1 < 0 ，③
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上的任意一点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可得，若存在定点，则一定在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
将①②③代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或2，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有两个公共点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．
【解答】解：（1）因为圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个公共点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系可得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为定值，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （满足△ SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时定值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为定值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
综上，若 SKIPIF 1 < 0 为定值，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，且定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右准线与其一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为4．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，且与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的对称性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合①，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，对于圆 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨考虑 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为这些 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为这些 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得△ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点为顶点的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆相交于异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试探究，点 SKIPIF 1 < 0 是否在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，由此解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ． ①
又点 SKIPIF 1 < 0 异于顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线可以得 SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． ②
将①代入②，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 为锐角，从而 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
故点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，计算点 SKIPIF 1 < 0 到圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离与半径的差
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ③
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
而两直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ④
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，判断点 SKIPIF 1 < 0 与以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解答】解法一：（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，
SKIPIF 1 < 0 为锐角．
故点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆外．
12．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，经过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 及上顶点 SKIPIF 1 < 0 ，过圆外一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点 SKIPIF 1 < 0 在以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （4分）
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （6分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （8分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （10分）
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的内部， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由△ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （12分）
13．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点 SKIPIF 1 < 0 在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于异于 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形．
【解答】解：（Ⅰ）由题意： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故所求椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆相交于异于 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角；所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形．
14．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 SKIPIF 1 < 0 为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 为右准线上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆相交于异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，证明点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上，
SKIPIF 1 < 0 （1）
又点 SKIPIF 1 < 0 异于顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线可以得
SKIPIF 1 < 0 ．
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．（2）
将（1）代入（2），化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为锐角，从而 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
故点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆内．
15．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线 SKIPIF 1 < 0 是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆右准线上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 于椭圆相交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为锐角．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0 点异于顶点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ②
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 为锐角．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，若△ SKIPIF 1 < 0 的周长为6，且离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 长轴的两个端点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ．
【解答】（Ⅰ）解：设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②又 SKIPIF 1 < 0 ③，
由①②③可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）证明：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ．