初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形学案

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形学案，共6页。学案主要包含了知识梳理，经典例题，变式训练1，变式训练2，变式训练3，变式训练4，课堂训练，课后训练等内容，欢迎下载使用。
知识点1：等腰三角形、腰、底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识点2：等腰三角形的性质
1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2、这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性质1、性质2均得证．
说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；
或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
【变式训练1】．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为( )
A．20° B．50°或80°
C．10° D．20°或80°
【变式训练2】．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝ cm.
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
【变式训练3】．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.
【例4】如图，其中△ABC是等腰三角形的是（ ）
【变式训练4】：①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
【课堂训练】
一、选择题。
1. 等腰三角形的一个内角是50°,则另外两个角的度数分别是( )
A.65°,65°B.50°,80°
C.65°,65°或50°,80°D.50°,50°
2.等腰三角形的周长为15 cm,其中一边长为3 cm,则该等腰三角形的腰长为( )
A.3 cmB.6 cm
C.3 cm或6 cmD.8 cm
3.如下图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是( )
A.∠1=2∠2
B.∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
4.等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（ ）
A．底角大于相邻外角 B．底角小于相邻外角
C．底角大于或等于相邻外角 D．底角小于或等于相邻
5. 等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．100°，20°
C．50°，50° D．40°，40°或100°，20°
6. 等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（ ）
A．50°，50°，80° B．80°，80°，20°
C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°
7.如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（ ）
A．45° B．40° C．55° D．50°
8.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．顶角 B．顶角的一半
C．顶角的2倍 D．底角的一半
9.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．72°

二．填空题。
1. 若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为 ．
已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为 ．
在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC的面积为________．
三．解答题。
1．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．
2.如图,已知△ABC中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,求∠EDF.
【课后训练】
1．若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．10
2．若等腰三角形的一个角为70°，则顶角为（ ）
A．70°B．40°C．40°或70°D．80°
3．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°

4．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．36°B．30°C．24°D．18°
5．已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．6条B．7条C．8条D．9条
6．已知平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，3），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个。
A．3B．4C．5D．6
7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
8．如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC=2AM。
9．如图，△ABC中，AB=6，BD=3，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求CD的长。
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，已知△ADE的周长为20cm，且BC=12cm，求△ABC的周长。