专题18 三角恒等变换7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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一、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
注：两角和与差正切公式变形
；
．
二、二倍角公式
①；
②；
③；
三、降次（幂）公式
注：．
四、半角公式
五、辅助角公式
（其中）．
六、其他常用变式
．
七、拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·二模）已知，则（ ）
A．－1B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件利用两角和差的正弦公式展开求得，最后由二倍角公式结合齐次式化简求值即可.
【详解】由，
得，
即，
则，得，则，
所以
．
故选：A．
2．（2024高三上·福建三明·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由和差角公式以及辅助角公式即可化简求解.
【详解】根据题意，，即，
故，
故选：A
3．（2024·安徽亳州·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件算出即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
所以.
故选：C.
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.
【详解】由于，且，
则，
整理得，
则，
整理得，
所以.
故选：D.
5．（2024高三上·上海静安·期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据题意得到与的范围，再利用正余弦函数的和差公式，对选项逐一进行化简，从而利用正余弦函数的性质即可判断.
【详解】因为、是不同的两个锐角，即，
所以，，
对于A，因为，
所以一定成立，故A错误；
对于D，可能成立，故D错误；
对于B，因为，
所以恒成立，
即一定不成立，故B正确；
对于C，可能成立，故C错误.
故选：B.
6．（2024高三·北京海淀·阶段练习）已知O为坐标原点，点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①④C．①③D．③④
【答案】C
【分析】根据点的坐标，写出向量的坐标，根据模的计算公式求出向量的模，可判断①②;根据数量积的坐标表示，求出相关向量的数量积，可判断③④.
【详解】对于①：，，所以，
，故，故①正确；
对于②：， ，，
，因为关系不定，故不一定相等，故②不正确；
对于③，，，
，
，，故③正确；
对于④，，
，因为未知，所以 与不一定相等，故④不正确.
故选：C
7．（2024·安徽安庆·二模）已知第二象限角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由诱导公式和同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式代入化简所求表达式可得，即可得出答案.
【详解】因为，且为第二象限角，所以，
于是
.
故选：D.
8．（2024·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由题解得，再由求解即可.
【详解】由，解得，
所以.
故选：A.
9．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用两角和的正切恒等变换公式可求得=，对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，解得=，
则，
故选：D.
10．（2024·江西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以，则，
所以
.
故选：D
11．（2024·山西晋中·三模）已知，为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件，结合同角关系求，再由特殊角三角函数值求，再利用两角差的余弦公式求.
【详解】因为，所以 ，
又，为锐角，
所以，，且．
因为，为锐角，，所以，
又， 所以，
故．
故选：D.
12．（2024·全国·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据待求式的结构，求解即可．
【详解】解：因为
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故选：D.
13．（2024·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
14．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解．
【详解】解：
．
故选：A．
15．（2024高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由可得，根据角的范围可得到答案.
【详解】由题意知，
则，即，
所以，即，
又，，则，所以，
，，则
所以有即.
故选：A.
16．（2024·全国）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
17．（2024·全国）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
18．（2024·全国）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
19．（2024高三上·江西赣州·期末）已知函数，的最小值为a，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由辅助角公式化简得，，可得，分析取最小值的情况，求得，即可得到，进而求出a的值.
【详解】解：，且
则，解得，
，，
则，
，即，解得，
故选：D.
20．（2024高三上·山东·阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，所以．
因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故选：C
21．（2024·广东广州·一模）若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.
【详解】，.
由，可得，
即.
，
，
，，且，
根据函数易知：，即得：.
故选：A
22．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数关系以及辅助角公式，可化简原式得到，再利用辅助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解
【详解】，
则
故选：D
23．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
24．（2024·重庆·模拟预测）已知角，满足，，则（ ）．
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.
【详解】由得，进而，
所以，
故选：B
25．（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（ ）
A．－2B．C．D．2
【答案】B
【分析】
根据题意切化弦结合三角恒等变换可得，结合运算求解即可.
【详解】由，即，可得，
则，
可得，
因为，即，
可得，
又因为，即，所以．
故选：B．
26．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
27．（2024·全国·模拟预测）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】，，，
故选：B
28．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，所以，
故．
故选：C.
29．（2024高三上·黑龙江牡丹江·期末）（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行计算即可.
【详解】原式
，
故选：C.
30．（2024高三上·江苏·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正切公式结合弦化切可得出，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，即，
整理可得，解得，且有
因此，.
故选：A.
31．（2024高三下·上海金山·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
32．（2024高一下·湖北荆州·期中）化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
33．（2024高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
34．（2024·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为，
又因为，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
35．（2024·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】，
所以，则，
所以
故选：A
36．（2024高三上·河南周口·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的零点个数为（ ）

A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【分析】根据的图象求出的解析式，代入化简得，，函数的零点个数即方程的根的个数，数形结合可得解.
【详解】根据题意：
，
由图可知，
，，，
，
又，，
又，所以或，
又，即，，
所以，
，
令，所以与一一对应，
故函数的零点个数即方程的根的个数即可，根据图象不难看出，两个函数共有11个交点，
故选：C．

【点睛】思路点睛：根据图象求出，代入的解析式化简得，换元令，由此将函数的零点个数转化为方程的根的个数，数形结合得解.
37．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【详解】因为，又，
所以，则，即，
则，即，所以或（舍去），
所以.
故选：B.
38．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
【答案】D
【分析】
由条件结合平方关系及二倍角公式可求，根据商的关系和二倍角公式及诱导公式化简，代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，即
又，
所以，
故选：D.
二、多选题
39．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
40．（河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末数学试题）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用三角恒等变换，即可化简，即可求解.
【详解】，故A正确；
故B正确；
，故C错误；
．故D错误；
故选：AB
41．（2024高三上·广东·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．函数在区间内有6个零点
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
【答案】AD
【分析】首先化简得，对于A：直接用周期公式求解；对于B：求出的范围，然后结合的图象得零点个数；对于C：直接计算的值即可判断；对于D：求出，结合图象来列不等式求解.
【详解】
，
对于A：，A正确；
对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；
对于C：，故点不是的对称中心，C错误；
对于D：由已知，
当时，，
因为在上的最大值为，
所以，解得，D正确.
故选：AD.
三、填空题
42．（2024·湖北荆门·模拟预测）若，则 .
【答案】/
【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案为:.
43．（2024高三·全国·专题练习）已知，则
【答案】
【分析】由将所求角转化为已知角，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
44．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知，则 ．
【答案】
【分析】由于要求的正切，等式左边就将其看成整体，按照两角差的正弦公式展开，等式右边直接利用两角和差的余弦公式整理化简即可.
【详解】由两角差与和的余弦公式，
等式右边变为：，
等式左边将看作整体，按照两角差的正弦公式展开，左边得到：.
于是根据左边等于右边得到：，即，显然，否则，这与矛盾，于是等式两边同时除以，得到.
故答案为：
45．（2024高三上·四川·期中）写出一个使等式成立的的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用通分，两角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化简，找出条件关系，求出满足条件的一个角即可
【详解】因为
所以
所以
解得：
当时，
所以使等式成立的的一个值为：
故答案为：（答案不唯一）
46．（2024·北京海淀·模拟预测）若实数，满足方程组，则的一个值是 .
【答案】（满足或的值均可）
【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】解：实数，满足方程组，
则，
由于，
所以，则；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取时，．
故答案为：（满足或的值均可）
47．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【分析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出，再由正弦函数的性质结合得出.
【详解】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．
故答案为：
48．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）已知，且，求的值为 ．
【答案】/
【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
49．（2024高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，，则，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
50．（2024高三上·陕西商洛·期中）已知，满足，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合两角和差公式整理得，进而可得结果.
【详解】因为，
即，整理得，即，
所以．
故答案为：．
51．（2024高三上·江苏南通·期中）在中，若，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简可得的值，再利用二倍角的正切公式化简可得的值.
【详解】因为，
所以，，
由题意可得，
若，则，不妨设为锐角，则，
则，不合乎题意，
所以，，故，因此，.
故答案为：.
52．（2024高三上·广东广州·开学考试）若角的终边经过点，且，则实数 .
【答案】
【分析】由题意可得角是第一象限的角，且，根据诱导公式可得，不妨取，代入中利用两角和的正切变形公式化简可求出的值
【详解】因为角的终边经过点，
所以
因为，，
所以角是第一象限的角，
所以，
不妨取，则，
所以
，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
53．（2024高一·全国·课后作业）若是的内角，且，则等于 .
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式求得，即可求出.
【详解】由题意知，，即，
∴，
又，∴.
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．
54．（2024高一上·江苏泰州·期末）若，为锐角，且，则 ；
【答案】
【解析】利用两角和差正切公式来构造出，代入可求得结果；根据的规律可整理得到结果.
【详解】
即
故答案为：；
【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分.
55．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到即，由，得到，结合，即可求得的值.
【详解】由，
可得，
两式平方相加，可得：，
即，
又由，可得，所以，所以
因为，且，所以.
故答案为：.
56．（2024高一上·重庆沙坪坝·期末）若，且，，则 .
【答案】
【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因为，，则，
，，所以
所以
，
所以.
故答案为：.
57．（2024高三下·湖南·阶段练习）若锐角、满足，，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的平方关系求出、的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】因为，，则，，
由、，则，，
所以，，，
所以
.
故答案为：.
58．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点为角终边上一点.若，且，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数定义求出，利用同角关系求出，再利用三角恒等变换求出结果.
【详解】因为点为角终边上一点，所以.
又因为，，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以，所以.
故答案为：
59．（2024·山西临汾·模拟预测）已知为锐角，且，则 ．
【答案】
【分析】对已知式整理可得，结合角的范围可得，进而以为整体，结合三角恒等变换分析求解.
【详解】因为，
即，
且为锐角，则，
可知，则，
可得，
所以.
故答案为：.
60．（2024高三上·广东湛江·阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】化简得到，根据得到且，从而求出答案.
【详解】由，
得.
因为，所以当且仅当两个等号同时成立，
即且时，，
又，，
所以，所以.
故答案为：
61．（2024·全国·模拟预测）在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此类推，在正边形中，可得到三角恒等式 ；
通过上述， ．
【答案】 ，
【分析】第一个空利用类比和已知格式推断在正边形中可得到三角恒等式；
第二个空利用诱导公式将化为，
然后利用降幂公式化简，结合求出结果.
【详解】记单位向量，在边长为1的正边形中，
因为，
所以，
．
由恒等式对任意恒成立，
可知，即，
．
故答案为： ；.
四、解答题
62．（2024高一下·浙江绍兴·期末）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.

(1)利用图中边长关系，证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答.
（2）利用（1）的信息结合已知，证得，再借助二倍角公式及同角公式计算作答.
【详解】（1）在中，，，，则，
在中，，，，则，
在中，，，
则，
依题意，四边形是矩形，则，
所以.
（2）由及（1）知，，则，而为锐角，即有，
，又是锐角，于是，
所以.
63．（2024高一下·辽宁·期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）若选①，由利用两角和的正弦公式及二倍角公式即可证明；
若选②，由利用两角和的余弦公式及二倍角公式即可证明；
（2）由题，，利用，结合公式②及正弦的二倍角公式得，即，所以，解此方程即可.
【详解】（1）若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
（2）由题，，因为，则，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得，
又因为，所以，所以，
整理得解得或，
又，所以.
64．（2024高一上·山西长治·期末）(1)试证明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推导：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析
【分析】在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.
【详解】(1)不妨令.
如图，
设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.
连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.
根据两点间的距离公式，得：
，
化简得：
当时，上式仍然成立.
∴，对于任意角有：.
(2)①公式的推导：
.
公式的推导：
正切公式的推导：
②公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
公式的推导：
由①知，.
65．（2024高三上·广东揭阳·期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，．它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则，，由向量数量积的坐标表示，有．
设，的夹角为，则，
另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，对于任意角，有：．
此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）
解决下列问题：
(1)判断是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）
(2)证明：．
【答案】(1)正确
(2)证明见解析
【分析】(1)利用单位向量和共线向量的概念即可求解；(2)结合图像表示出，，，然后结合(1)中结论即可求解.
【详解】（1）正确；因为对于非零向量，是方向上的单位向量，
又且与共线，所以.
（2）因为为的中点，则，
从而在中，，
又M是AB的中点，∴，
又，，
所以，
化简得，．
66．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数
(1)求函数的对称轴和对称中心；
(2)当，求函数的值域．
【答案】(1)函数的对称轴为，对称中心
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解；
（2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域.
【详解】（1）因为，
令，解得；
令，解得；
所以函数的对称轴为，对称中心.
（2）因为，则，
当，即时，函数取到最大值；
当，即时，函数取到最小值；
所以函数的值域为.
67．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知.
(1)求在上的单调递减区间；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后根据正弦函数的单调性可得；
（2）先求，然后由平方关系和和差公式可得.
【详解】（1），
由，解得，
又，
函数在上的单调递减区间为.
（2）由（1）知，
又，
，
，
.
68．（2024高三·全国·对口高考）已知函数；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在区间上的取值范围；
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）将代入函数，利用值为0，求出的值，利用正弦定理求出的值，即可求出角的值；
（2）化简函数，即可求出对应区间上函数的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在中，，，
，
∴或，
∴在三角形中得或.
所以当时，由勾股定理得，
∴,是等腰直角三角形，
∴.
当时, 由正弦定理得,
，即，
∴，
解得：或，
∵,
∴,
∴,
综上所述,为或.
（2）由题意，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴,
由正弦函数的性质可知，
当, 即时,取最小值,
当, 即时, 取最大值，
所以在区间上的取值范围是.
69．（2024高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算求值：
(1)已知、均为锐角，，，求的值
(2)计算的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.
（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.
【详解】（1）、均为锐角，则，
所以，
，
所以
.
（2）
.
（一）
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
题型1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
1-1．（2024高三下·广东广州·阶段练习），，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的关系，求出，再由两角差的正切公式求.
【详解】，，则有，，
.
故选：B.
1-2．（2024·安徽淮南·二模）已知，则（ ）
A．B．C．或D．0或
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出，，凑角法求出或，舍去不合题意的解，得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以
当时，
，
因为，
所以，故满足题意，
当时，
因为，故不合题意，舍去；
故选：A
1-3．（2024高一上·广东广州·期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
.
故选：C.
题型2：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用与变形
2-1．（2024·山东泰安·二模）已知，则 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式求得，根据倍角公式和诱导公式化简目标式，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，
则
故答案为：.
2-2．（2024高三上·山东青岛·期末）已知，，则 .
【答案】/
【分析】将已知两式平方相加，结合两角差的余弦公式，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
，
以上两式相加可得，即，
故，
故答案为：
2-3．（2024高三·全国·对口高考）的值是 .
【答案】1
【分析】利用正切的和差公式变形即可得解.
【详解】因为，
所以，故.
故答案为：.
2-4．（2024高一·全国·课后作业） ．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．
故答案为：.
2-5．（2024高三下·河南平顶山·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角及两角和与差的正弦公式化简，可得，进而求解.
【详解】由，
可得，
即，
化简可得，
即，
所以，，
即，，
可得．
故选：C．
（二）
角的变换问题
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
题型3：角的变换问题
3-1．（2024·四川成都·模拟预测）设，则等于（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】C
【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解
【详解】因为，所以，
故，
故选：C．
3-2．（2024·四川·三模）若为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式计算.
【详解】由为锐角，且，所以，则
.
故选：D
3-3．（2024高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先求出，利用差角公式求解答案.
【详解】因为，所以，所以；
.
故选：A.
3-4．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cs（α+β）．
【详解】∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故选：D
（三）
给角求值
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
题型4：给角求值
4-1．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】原式
，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.
4-2．（2024·广东湛江·一模） ．
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
.
故答案为：.
4-3．（2024·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
4-4．（2024高一下·江苏苏州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
（四）
给值求值
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．
题型5：给值求值
5-1．（2024·全国）已知，tanα=2，则cs(α−π4)= ．
【答案】
【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
5-2．（2024高三上·河北·期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.
【详解】（法一）
．
（法二）因为，所以，
则
．
故答案为：．
5-3．（2024·山东济宁·三模）已知，则 .
【答案】/
【分析】由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
5-4．（2024·江西·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
.
故答案为：
5-5．（2024·全国·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
故答案为：
（五）
给值求角
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
题型6：给值求角
6-1．（2024高三上·上海嘉定·期中）若为锐角，，则角 .
【答案】
【分析】结合两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得，进而求得.
【详解】由于为锐角，所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案为：
6-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，其中，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用倍角公式可得，再结合两角和差公式运算求解；
（2）根据同角三角关系可得，利用两角和差公式求，并结合角的范围分析求解.
【详解】（1）因为，可得，
又因为，则，可得，
所以.
（2）因为，则，且，可得，
所以，
可得，
又因为，可得，所以.
6-3．（2024高一上·福建三明·阶段练习）已知，，，.
(1)求；
(2)求角.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）两边平方得，从而求出，得到，联立求出正弦和余弦，得到正切值；
（2）由题目条件得到，故，由同角三角函数关系求出，进而由求出正弦值，结合角的范围得到答案.
【详解】（1）①，两边平方得，
所以，
从而，
因为，所以，
故，，，
所以，②
联立①②解得，，
故；
（2）因为，，，
所以，
由于在上单调递减，
所以，
其中，
由（1）知，，
而，与矛盾，舍去，
，满足要求，
故，
所以
，
因为，
所以.
6-4．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知，，且，，则的值是 .
【答案】
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，
则，
所以.
故答案为：.
（六）
三角恒等变换的综合应用
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
（2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
题型7：三角恒等变换的综合应用
7-1．（2024·湖南·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为
(2)最大值为，此时.
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，得到，进而求得取得最大值时x的值.
【详解】（1）解：因为
，
所以的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
（2）解：因为，所以，
所以，所以，
当，即时，，
所以的最大值为，此时．
7-2．（2024高三上·天津·期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的单调递减区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】（1）解：由
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：由，可得，
因为，可得，所以，
所以.
7-3．（2024高三·全国·对口高考）已知．若的最小正周期为．
(1)求的表达式和的递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)；的单调递增区间为．
(2)在区间上的最大值和最小值分别为1和．
【分析】（1）化简函数解析式，利用周期公式求，可得其函数解析式，再由正弦函数单调性求函数的递增区间；
（2）利用不等式性质及正弦函数性质求函数在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为的最小正周期为，，
所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，
所以，
所以，即，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
当时，函数取最小值，最小值为.
7-4．（2024·浙江）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
7-5．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间：
(2)若，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再结合三角函数的性质计算即可；
（2）结合（1）得，利用同角三角函数的平方关系及正弦函数的和差公式计算即可.
【详解】（1）原函数式可化为，
则其最小正周期为，
令，
即单调递减区间为：；
（2）由上可知，
又，所以，
则，
故
.