人教A版高中数学必修第一册第1章1-1第1课时集合的含义课时学案

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1.1　集合的概念第1课时　集合的含义1．通过实例了解集合的含义．(抽象素养)2．理解元素与集合的“属于”关系，掌握常用数集的表示符号并会应用．(逻辑推理)有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教了一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”数学家很难回答．一天，数学家看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合．”你能理解集合了吗？知识点1　元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．集合中元素的三个特性(1)确定性：集合中的元素是确定的．(2)互异性：同一集合中的元素是互不相同的．(3)无序性：集合中的元素没有顺序．1．若集合A由0与x两个元素构成，则实数x的取值有限制吗？为什么？[提示]　有限制，x≠0．因为集合中的元素必须是互异的．知识点2　元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2．若集合A是由小于10的质数构成的集合，则2与A，6与A有什么关系？[提示]　2∈A ，6∉A．知识点3　常见的数集及表示符号1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)我校高一学生中所有的共青团员可以组成集合． (　　)(2)分别由元素0，1，2和2，0，1构成的两个集合是相等的． (　　)(3)由－1，1，1构成的集合中有3个元素． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．用“∈”或“∉”填空：12________ N；0________Z；2________Q; －5________R．[答案]　∉　∈　∉　∈ 类型1　集合的基本概念【例1】　(1)(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　)A．中国古典文学四大名著B．中国最美乡村C．清华大学2023年入校的全体学生D．到定点A的距离为1的所有点(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，ba三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________．(1)ACD　(2)1　[(1)AC选项显然正确；B选项中“最美”的标准不明确，不能构成集合，D选项中的所有点在以A为圆心，1为半径的圆上，能构成集合．故选ACD．(2)由题意知a＋b＝0，所以ba＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1．]　一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的．[跟进训练]1．(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)A．3的近似值的全体能构成集合B．未来世界的高科技产品组成一个集合C．正三角形的全体能构成集合D．不大于2的所有自然数组成一个集合(2)2022年北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩(Bing Dwen Dwen)寓意创造非凡、探索未来；2022年北京冬季残奥会吉祥物雪容融(Shuey Rhon Rhon)寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的英文名字中的所有英文字母组成的集合包含________个元素．(1)CD　(2)13　[(1)A错误，“3的近似值”的标准不明确，不能构成集合；B错误，“高科技”没有确定的标准，故不能构成集合；CD中元素的标准明确，故都能构成集合．故选CD．(2)根据题意可得，“Bing Dwen Dwen”“Shuey Rhon Rhon”中共含有13个不同的英文字母，所以所求集合元素个数为13．] 类型2　元素与集合的关系【例2】　(1)(2022·重庆西南大学附中月考)下列结论不正确的是(　　)A．0∈N　　　B．12∈Q　　　C．2∉R　　　D．－1∈Z(2)集合A中的元素x满足63-x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(1)C　(2)0，1，2　[(1)由N表示自然数集，知0∈N，故A正确；由Q表示有理数集，知12∈Q，故B正确；由R表示实数集，知2∈R，故C错误；由Z表示整数集，知－1∈Z，故D正确．故选C．(2)∵63-x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2．即集合A中的元素为0，1，2．]　判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[跟进训练]2．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)A．－2∈A　　B．－11∉A　　C．3k2－1∈A 　　D．－34∉ABC　[若－2∈A，则3k－1＝－2，即k＝－13∉Z，故A错误；若－11∈A，则3k－1＝－11，即k＝－103∉Z，故B正确；因为k∈Z，故k2∈Z，故3k2－1∈A，故C正确；若－34＝3k－1，则k＝－11∈Z，故D错误．故选BC．] 类型3　集合中元素的特性及应用【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．思路导引：a∈A元素与集合　　的关系　　a＝1或a2＝a．[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0．[母题探究]本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．　根据集合中元素的特性求值的3个步骤[跟进训练]3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．[解]　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3．解得x≠－1且x≠0，x≠3．(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2．由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即x2－2x＝－2无解．∴x＝－2．1．(多选)(2022·河北沧州月考)下列各组对象能构成集合的是(　　)A．1～10之间的所有奇数B．北方学院2022年入校的一年级学生C．滑雪速度较快的人D．直线y＝2x＋1上的所有的点ABD　[由于集合中的元素满足确定性，ABD选项中的对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合．故选ABD．]2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．故选C．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)A．3.14　　　B．－5　　　C．37　　　D．7D　[由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数，故选D．]4．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3．①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1．当a＝2时，|a＋1|＝3，此时与集合的互异性相矛盾，因此应舍去．当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．综上可知a＝－1或a＝－4．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？[提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．2．元素与集合间存在哪些关系？[提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．3．学习了哪些常用数集？[提示]　自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．课时分层作业(一)　集合的含义一、选择题1．下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)A．著名的运动健儿 B．26个英文字母C．非常接近0的数 D．勇敢的人B　[著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能构成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能构成集合；勇敢的人，元素不确定，不能构成集合．故选B．]2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　)A．5∈M B．0∉MC．1∈M D．－π2∈MD　[5>1，故A错误；－2<0<1，故B错误；1∉M，故C错误；－2<－π2<1，故D正确．]3．(2022·浙江省拔尖生月考)若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)A．菱形 B．平行四边形C．梯形 D．正方形C　[因为a，b，c，d为集合A的四个元素，所以a，b，c，d两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以AD错；平行四边形的对边相等，所以B错误．故选C．]4．(多选)(2022·河北邢台月考)下列说法中，正确的是(　　)A．2的近似值的全体构成一个集合B．自然数集N中最小的元素是0C．在整数集Z中，若a∈Z，则－a∈ZD．一个集合中不可以有两个相同的元素BCD　[因为“2的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故A错误；因为自然数集中最小的元素是0，所以B正确；若a∈Z，则－a也是整数，即－a∈Z，故C正确；同一集合中的元素是互不相同的，故D正确．故选BCD．]5．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　)A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A　[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．]二、填空题6．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．[答案]　a<27．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若A中的元素是a，b，则a＋b＝________．2　[由题意可知，a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，∴a＋b＝2．]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B，1＋2________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D．(1)∉　∈　(2)∉　∈　(3)∉　∈　[(1)∵23＝12>11，∴23∉B；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B．(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3∉C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C．(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，则－1是数，∴－1∉D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．]三、解答题9．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1．10．(2022·江苏常州四校联考)由实数x，－x，x，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素(　　)A．2个 B．3个C．4个 D．5个A　[在x，－x，x，x2，－3x3中，x2＝x，-3x3＝－x．又|x|要么等于x．要么等于－x，故集合中最多含2个元素．]11．(多选)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　)A．2　　　B．－2　　　C．4　　　D．0AC　[若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A．]12．(2022·湖北武汉第六中学月考)已知x∈R，使代数式x＋x2+1－1x+x2+1的值为有理数的x的集合是(　　)A．RB．QC．使x2+1∈Q的集合D．使x＋x2+1∈Q的集合B　[x＋x2+1－1x+x2+1＝x＋x2+1－x2+1-xx+x2+1x2+1-x＝2x∈Q，则x∈Q，故选B．]13．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若集合A与集合B相等，则实数x＝________，y＝________．1　0　[由题意得x＝0，y＝x2或y＝0，x＝x2，即x＝0，y＝0 或x＝1，y＝0，又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，所以x＝1，y＝0．]14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求aa＋bb的可能取值所组成的集合中所有元素的和．[解]　当a，b同正时，aa＋bb＝aa＋bb＝1＋1＝2．当a，b同负时，aa＋bb＝-aa＋-bb＝－1－1＝－2．当a，b异号时，aa＋bb＝0．∴aa＋bb的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．15．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11-a∈A，且1∉A．(1)证明：若a∈A，则1－1a∈A；(2)集合A能否只有一个元素？若能，求出集合A；若不能，说明理由．[解]　(1)证明：因为a∈A，11-a∈A，所以11-11-a＝1-a-a＝1－1a∈A．(2)假设集合A只有一个元素，设此元素为a，则a＝11-a，即a2－a＋1＝0有两个相等的根．因为Δ＝(－1)2－4＝－3＜0，所以a2－a＋1＝0无实数根．这与a2－a＋1＝0有两个相等的根相矛盾，所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素．数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR