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2024年高考数学第二轮复习 专题07 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解(能成立)问题）（全题型压轴题）（学生版+教师版）
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这是一份2024年高考数学第二轮复习 专题07 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解(能成立)问题）（全题型压轴题）（学生版+教师版），文件包含2024年高考数学第二轮复习专题07一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式有解能成立问题全题型压轴题教师版docx、2024年高考数学第二轮复习专题07一元函数的导数及其应用利用导函数研究不等式有解能成立问题全题型压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
（全题型压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10458" ①已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc10458 \h 1
\l "_Tc26453" ②变量分离法 PAGEREF _Tc26453 \h 3
\l "_Tc11883" ③双变量型 PAGEREF _Tc11883 \h 6
\l "_Tc20358" ④最值法 PAGEREF _Tc20358 \h 11
①已知函数在区间上存在单调区间
1．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023春·河北唐山·高二曹妃甸一中校考期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，在内成立，所以，
由于，所以，，所以．
故答案为:
3．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，
只需在区间上有解，
又，则，所以在区间上有解，
所以，，
令，，则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（2023·全国·高二专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，则，
所以，即.
故答案为：.
②变量分离法
1．（2023春·陕西西安·高二统考期中）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【详解】若存在，使得不等式成立，
可转化为在上有解，
令，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又由时，；当时，，
因为，
所以函数的最大值为，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使成立，求a的取值范围；
【答案】
【详解】由，得，，即能成立，
令，，
则，
设，，
则，
∴φ(x)在上单调递增，
∴，
∴在上，，单调递增，
∴，
∴a的取值范围是．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，若，求实数m的取值范围；
(8)若存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(8)
【详解】（1）由可得，即，
设，则，
当时，，单调递减，则．
所以实数m的取值范围为．
（8）由可得，即，
设，则，
令可得或8．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极大值为．
又，则在内的最大值为，
故，即m的取值范围为．
5．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(8)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(8)
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（8）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
③双变量型
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[8，5]B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
所以在[1，8]递减，在（8，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
【答案】B
【详解】解：g（x）=x8ex的导函数为g′（x）=8xex+x8ex=x（x+8）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，8]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，8]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0故选:B．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】由题设，f′(x)＝8x－8ax8＝8x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.
∵g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＝，
∵x<－时，g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，且值域为.
若∃x1∈(－∞,－1]，∃x8∈，使得f(x1)＝g(x8)，则1＋<，可得a<.
综上，故实数a的取值范围是.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（8）若，，，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（8）.
【分析】（1）用导数法求函数的单调性即可；
【详解】（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（8）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数，，
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ).
【详解】(Ⅰ)当时，，所以
所以
所以曲线在处的切线方程为，即
(Ⅱ)的定义域是，
令，得
①当时，，所以函数的单调增区间是
②当时，变化如下：
所以函数的单调增区间是，单调减区间是
③当时，变化如下：
所以函数的单调增区间是，单调减区间是
(Ⅲ)因为，所以
当时，
所以在上恒成立，所以在上单调递增
所以在上的最小值是，最大值是
即当时，的取值范围为
由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增
因为，所以不合题意
当时，，在上单调递减
所以在上的最大值为，最小值为
所以当时，的取值范围为
“对于任意，总存在，使得成立”等价于
即，解得
所以的取值范围为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
④最值法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．若在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】若在区间上有解，即求，
，
当时，，在上单调递增，
所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
若时，则函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
若时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以，不成立，舍去，
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以.
综上的取值范围为：
8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(8)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(8)
【详解】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（8）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)若在时取得极值，求的值；
(8)若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(8)
【详解】（1）.
因为在时取得极值，
所以，解得.
经检验，满足题意.
（8）令，解得（舍去）.
当时，，当时，，所以在上单调递增.
故.
因为存在，使得，所以，即，
结合，解得.
当时，.当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故.
因为存在，使得，所以.
函数在定义域内单调递增，，
结合，可得的解集为
综上，的取值范围为.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
，，
设，则，
在上，，则单调递增，
在上，，则单调递减，
，即在内恒成立，
要求，即，
则只需即可，即，等价于，
解得：且，
的取值范围是：且.+
-
-
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
+
-
-
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
+
0
↗
极大值
↘
（全题型压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10458" ①已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc10458 \h 1
\l "_Tc26453" ②变量分离法 PAGEREF _Tc26453 \h 3
\l "_Tc11883" ③双变量型 PAGEREF _Tc11883 \h 6
\l "_Tc20358" ④最值法 PAGEREF _Tc20358 \h 11
①已知函数在区间上存在单调区间
1．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023春·河北唐山·高二曹妃甸一中校考期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，在内成立，所以，
由于，所以，，所以．
故答案为:
3．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，
只需在区间上有解，
又，则，所以在区间上有解，
所以，，
令，，则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（2023·全国·高二专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，则，
所以，即.
故答案为：.
②变量分离法
1．（2023春·陕西西安·高二统考期中）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【详解】若存在，使得不等式成立，
可转化为在上有解，
令，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又由时，；当时，，
因为，
所以函数的最大值为，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使成立，求a的取值范围；
【答案】
【详解】由，得，，即能成立，
令，，
则，
设，，
则，
∴φ(x)在上单调递增，
∴，
∴在上，，单调递增，
∴，
∴a的取值范围是．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，若，求实数m的取值范围；
(8)若存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(8)
【详解】（1）由可得，即，
设，则，
当时，，单调递减，则．
所以实数m的取值范围为．
（8）由可得，即，
设，则，
令可得或8．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极大值为．
又，则在内的最大值为，
故，即m的取值范围为．
5．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(8)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(8)
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（8）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
③双变量型
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[8，5]B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
所以在[1，8]递减，在（8，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
【答案】B
【详解】解：g（x）=x8ex的导函数为g′（x）=8xex+x8ex=x（x+8）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，8]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，8]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0
3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. ，使得)，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】由题设，f′(x)＝8x－8ax8＝8x(1－ax)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.
∵g(x)＝，
∴g′(x)＝′＝＝，
∵x<－时，g′(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，且值域为.
若∃x1∈(－∞,－1]，∃x8∈，使得f(x1)＝g(x8)，则1＋<，可得a<.
综上，故实数a的取值范围是.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）求的单调区间；
（8）若，，，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（8）.
【分析】（1）用导数法求函数的单调性即可；
【详解】（1）．
在和上，，单调递增．
在上，，单调递减．
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（8）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因为，，，
所以解得．
故的取值范围是．
5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数，，
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ).
【详解】(Ⅰ)当时，，所以
所以
所以曲线在处的切线方程为，即
(Ⅱ)的定义域是，
令，得
①当时，，所以函数的单调增区间是
②当时，变化如下：
所以函数的单调增区间是，单调减区间是
③当时，变化如下：
所以函数的单调增区间是，单调减区间是
(Ⅲ)因为，所以
当时，
所以在上恒成立，所以在上单调递增
所以在上的最小值是，最大值是
即当时，的取值范围为
由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增
因为，所以不合题意
当时，，在上单调递减
所以在上的最大值为，最小值为
所以当时，的取值范围为
“对于任意，总存在，使得成立”等价于
即，解得
所以的取值范围为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
④最值法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．若在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】若在区间上有解，即求，
，
当时，，在上单调递增，
所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
若时，则函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
若时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以，不成立，舍去，
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以.
综上的取值范围为：
8．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(8)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(8)
【详解】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（8）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)若在时取得极值，求的值；
(8)若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(8)
【详解】（1）.
因为在时取得极值，
所以，解得.
经检验，满足题意.
（8）令，解得（舍去）.
当时，，当时，，所以在上单调递增.
故.
因为存在，使得，所以，即，
结合，解得.
当时，.当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故.
因为存在，使得，所以.
函数在定义域内单调递增，，
结合，可得的解集为
综上，的取值范围为.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
，，
设，则，
在上，，则单调递增，
在上，，则单调递减，
，即在内恒成立，
要求，即，
则只需即可，即，等价于，
解得：且，
的取值范围是：且.+
-
-
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
+
-
-
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
+
0
↗
极大值
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