备战2025年高考数学压轴题训练专题07一元函数的导数及其应用(全题型压轴题)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题07一元函数的导数及其应用(全题型压轴题)(学生版+解析)，共25页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19382" 一、已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc19382 \h 1
\l "_Tc3205" 二、变量分离法 PAGEREF _Tc3205 \h 2
\l "_Tc16961" 三、最值法 PAGEREF _Tc16961 \h 4
\l "_Tc17346" 四、变更主元法 PAGEREF _Tc17346 \h 5
\l "_Tc30097" 五、双变量问题型 PAGEREF _Tc30097 \h 6
一、已知函数在区间上单调
1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在上为单调函数，求的取值范围
2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
二、变量分离法
1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，
(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围.
2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对所有都有，求实数的取值范围；
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
四、变更主元法
1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知
(1)在上恒成立，求x的范围．
3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数.
(1)，不等式恒成立，求实数的范围；
4．（2023高一·上海·专题练习）已知
(1)在上恒成立，求的范围．
五、双变量问题型
1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
专题07 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式恒成立问题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19382" 一、已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc19382 \h 1
\l "_Tc3205" 二、变量分离法 PAGEREF _Tc3205 \h 4
\l "_Tc16961" 三、最值法 PAGEREF _Tc16961 \h 9
\l "_Tc17346" 四、变更主元法 PAGEREF _Tc17346 \h 13
\l "_Tc30097" 五、双变量问题型 PAGEREF _Tc30097 \h 15
一、已知函数在区间上单调
1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在上为单调函数，求的取值范围
【答案】(1)增区间为和，减区间为
(2)
【优尖升-分析】
（1）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可；（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）当时，,
令，得或，所以的增区间为，，
令，得，所以的减区间为
故当时，的增区间为和，减区间为.
（2）由题可得，要使在上为单调函数，
则在恒成立，
则，即，解得：,
所以的取值范围为
2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】
（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案；
（2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案.
【详解】（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，即的解集为，
故是的两根，即，
当时，，由，解得，
等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故.
（2）函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，此时，
即在上恒成立，而，故,
经验证当时, 即，
等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，
故.
3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围；
（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围．
【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，
即恒成立，令，
则，而．
因为，所以．所以（此时），所以．
当时，．
因为，所以，即在上为减函数，
又，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，，所以．
因为在上存在单调递减区间，
所以当时，有解，即有解．
设，所以只要即可，而，，
所以，此时，所以．
又，所以或．
所以实数a的取值范围为．
4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2).
【优尖升-分析】(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解；
(2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答.
【详解】(1)当时，，求导得，
解得或，解得，
所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是；
(2)依题意，，
因函数在上单调递增，则，
令，，显然在上单调递增，于是得时，，则，
所以的取值范围是.
二、变量分离法
1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，
(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）恒成立求参问题，先分参后转换成求具体函数的最值问题即可求出结果.
（2）有解问题，解法同恒成立求参问题.
（3）恒成立和有解问题统一转化成最值问题解决.
【详解】（1）对于任意的，都有成立，
则恒成立，即恒成立，
又，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
（2）存在，使得成立，
即，使得成立，
所以有解，
又，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
（3）存在，使得成立，即，使得，成立，
令，
则，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：有解和恒成立求参问题常转化为最值问题处理：
（1）恒成立；有解；
（2）恒成立；有解.
2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；
（2）先将不等式变形，将条件转化为对恒成立，再通过导数研究的单调性即知的取值范围.
【详解】（1）当时，，
可得，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由条件知，即，即，即，
当时，不等式恒成立；
当时，我们有．
所以命题等价于对恒成立，
令，则：
，
而当时，，故，
当时，，故在区间上单调递增；
当时，，故在区间上单调递减，
所以．
综上所述，实数的取值范围为．
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对所有都有，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解最小值即可；
（2）对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解.
【详解】（1）的定义域是，，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝＝．
（2）∵，当时，恒成立，
等价于在时恒成立，
等价于在时恒成立，
令，，则即可；
∵，∴当时，恒成立，
∴在上单调递增，∴，
∴，即实数的取值范围为．
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【优尖升-分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【详解】（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
三、最值法
1．（23-24高二下·广东茂名·期中）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间.
(2)求函数的极值.
(3)若时，，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）由或解出，即可得到函数的单调区间；
（2）由或判断的单调性，再由极值的概念即可求出函数的极值.；
（3）由函数的单调性，等价于，即可解出的取值范围.
【详解】（1）当=1时，，则，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
当时，在上单调递增，无极值，
当时，由，得，由0得
则在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值，无极大值，
所以当时，函数无极值，
当时，函数有极小值，无极大值；
（3）由（2）知当时，在上单调递增，符合题意，
当时，在上单调递增，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
等价于，得.
综上的取值范围是.
2．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若且恒成立，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2).
【优尖升-分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；
（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以，解得：，
所以的最小值为.
3．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数极值，结合零点存在定理，即可得答案；
（2）求出函数的导数，判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得答案
【详解】（1）当时，，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
而，又，即，
故在有一个零点，即在有一个零点，
而在上最小值为，此时无零点，
故函数的零点个数为1；
（2）当时，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则此时，由题意得
解得，与矛盾，不合题意；
当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时，由题意得，
解得，故，
综合可得实数的取值范围为.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【优尖升-分析】（1）求导，即可对进行分类讨论求解导函数的正负求解，
（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数，将问题转化为函数的最值问题进行求解.
【详解】（1）由题知的定义域为，．
①当时，，则，故单调递增．
②当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，，且，即．
令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．
由题可得在上恒成立．
令，
则，
令，则，可得在上单调递减，
又，
故存在，使得，即，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
易知，
由于，故，
因此，故，即的取值范围为．
四、变更主元法
1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【详解】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，
则对，恒成立，于是，
解得，
所以实数的取值范围是．
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知
(1)在上恒成立，求x的范围．
【答案】(1)或；
【优尖升-分析】（1）根据在上恒成立，令，由则求解；
【详解】（1）解：在上恒成立，
令，
则，即，即，
因为，
所以不等式的解为或，
所以x的范围是或；
3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数.
(1)，不等式恒成立，求实数的范围；
【答案】(1)
【优尖升-分析】（1）变换为关于的一次函数，结合一次函数在恒成立，求解即可.
【详解】（1）
因为，不等式恒成立
所以，则有：，得
4．（2023高一·上海·专题练习）已知
(1)在上恒成立，求的范围．
【答案】(1)或．
【优尖升-分析】（1）利用更换主元法及一元一次不等式恒成立的解决办法即可求解；
【详解】（1）在上恒成立，
令,
所以，即，解得或．
故的范围为或．
五、双变量问题型
1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据切点坐标即可得到切线方程；
（2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最大值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，
则，即切线的斜率，
且，即切点坐标为，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由题意可知：，
因为的图象开口向上，对称轴为直线，
则在上单调递减，可得，
由（1）可设，则，
所以，
当时，；当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增.
且，
可知在区间上只有一个零点，设为，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，可得当时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【优尖升-分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
性；
（2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可.
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．
4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【优尖升-分析】
（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；
（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1），由得，
∴，，
即切点为，代入方程得，
所以，；
（2）由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，
∴，
．
①当时， 在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，解得或，
∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.
综上，.