2024年高考数学第二轮复习 专题10 利用导数研究双变量问题（全题型压轴题）（学生版+教师版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26948" ①型 PAGEREF _Tc26948 \h 1
\l "_Tc21522" ②型（或型） PAGEREF _Tc21522 \h 8
\l "_Tc5301" ③构造函数法 PAGEREF _Tc5301 \h 15
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①型
1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 （ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，当时，，
函数单调递减，函数的值域是，
，，当时，，
函数单调递增，函数的值域是，
因为，，使得，
所以，解得：，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
8．（2023秋·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选：D．
3．（多选）（2023春·广东潮州·高二统考期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．当时，
C．若函数有两个零点，则
D．设，若对，，使得成立，则
【答案】BD
【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误；
对于B选项，，当时，，递减，
由于，所以，
由于，
所以由两边乘以得 ，所以B选项正确；
对于C选项，令，
由于，所以在区间递减，
在区间递增，
当时，，当时，，，
函数的定义域为，
又，所以函数为偶函数，
由此画出的图象如图所示，
由图可知，当或时，直线与的图象有两个交点，
即当或时，函数有两个零点，所以C选项错误；

对于D选项，由上述分析可知，，
则，，，
要使“对，，使得成立”，
则需，所以D选项正确．
故选：BD.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：记，
由，知在和单调，
所以有， 时，，，所以，
所以，即，故，
设，，，则，令，得，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
；
所以当时，取极大值也是最大值，即，所以最大值为．
故答案为：，．
5．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(8)记函数，且的最小值为.
（i）求实数的值；
（ii）若存在实数满足，求的最小值.
【答案】(1)
(8)（i）；（ii）.
【详解】（1），则，又，
所以切线方程为：，即.
（8）
（i），
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增.
所以，且.
代入可得，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，故.
（ii），即，则
不妨令，设，则.
记，则，
令，即，则且，
所以有两异号实数根，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以有唯一零点.且.
所以当时，，当时，，
则在上递减，在上递增，所以.
其中，即，
又在上单调递减，且，得，
又因为在上单调递增，
所以（当时，有），所以的最小值为.
6．（2023·高二课时练习）已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(8)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(8)
(3)
【详解】（1）
，即曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线与直线垂直，
；
（8）若方程在上恰有两个不同的实数根，
即在上恰有两个不同的实数根，
当时，等式不成立，
故在上有个实数根，
令，则恒成立，
故在和上均为增函数；
当时，；
当时，，
综上可得：
（3）由（1）中得：
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
故当时，函数取最小值，
当时，函数，，
当时，函数；
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：
，解得：；
当时，由得：，
满足对任意，总存在唯一的，使得
当时，由得：，
由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：；
综上可得：
7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】解：设在上的值域为A，在上的值域为B.
依题意得：.
当时，令，则.
,.因为，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在时取得极小值，由于只有一个极小值也就是最小值.
由题设知的定义域为，所以
（1）当，即时，在上单调递增，且此，
所以需要满足，此方程组无解，故舍去.
（8）当，即时，在上单调递减，且此时，所以需要满足，解得：.
（3）当，即时，，故，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
②型（或型）
1．（2023春·四川绵阳·高二期末）已知，若，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以；
因为，都有，
所以在恒成立，即在恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
所以在单调递增，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，解得，
所以，
所以，即.
故选：C.
8．（2023春·上海闵行·高一校考期中）已知函数
(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
(8)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1，
(8)
(3)
【详解】（1）当时，,
所以当，即 时，所以 ,此时 ；
（8）因为 为偶函数，所以,
所以,
所以
，
又因为在上恒成立，
即在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，且 在上恒成立，
因为，所以，所以，
解得
所以 m 的取值范围为;
（3）因为过点，所以
所以，
又因为,所以,
所以 ，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，

因为，所以 ，
设 ,
则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线，
当 时，在 上单调递增，所以 ,
所以，解得
所以；
当 时， 在上单调递减，
所以 ,
所以，解得
所以;
当时，,
所以，解得所以,
综上所述：所以实数 a 的取值范围为
3．（2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(8)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【答案】(1)
(8)
(3)
【详解】（1）由题意可得：，
则，
即切点坐标，切线斜率，
故在处的切线方程为，即.
（8）∵，则，
∴原题意等价于存在成立，
又∵，则，
∴，
故a的取值范围为.
（3）因为对任意的，存在，有，所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，则有：
①当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，
故；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故；
③当，即时，在上单调递增，则，
所以，故；
综上所述：，即的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ()．设，若对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】“对任意的，存在，使得成立”，等价于
“在上，的最大值大于或等于的最大值”．
由，得，
所以在上单调递增，所以．
由，得
，
令，则或
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以 ，解得；
②当时，在上恒成立，单调递减，在上恒成立，单调递增，
所以的最大值为或，
所以或，
解得或，
所以；
③当时，在上恒成立，单调递减，
所以，解得，所以．
综上所述：或，
即的取值范围为
5．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．
(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；
(8)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(8)．
【详解】（1）函数在区间上单调递减，
则由零点存在定理可得，即
解得，所以的取值范围是．
（8）若对任意，都有，使得成立，
则当时，．
因为a＞1，所以当时，单调递减，
单调递增，
所以，，
所以．
当1＜a＜8时，，，不符合条件，
当时，，，符合条件，
所以a的取值范围是．
6．（2023春·河南信阳·高一校考期中）已知函数，函数．
(1)若是偶函数，求实数的值，并用单调性的定义判断在上的单调性；
(8)在（1）的条件下，若对于，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，在是单调增函数．
(8)
【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立，
∴恒成立，即，∴．
∴，经验检 ，满足题意，
设任意的，且，
则
．
因为，所以，，
所以，，，
所以在是单调增函数．
（8）．
当且仅当即时等号成立，∴，
由题意可得：，恒成立．
即，恒成立，
由有意义，得，
由有意义，得在恒成立．
即在上恒成立，
设，易知在上的值域为，故，所以．
又，恒成立，
即，恒成立．
即恒成立，即恒成立，
，∴．
综上，实数的取值范围为．
③构造函数法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不妨设，由可得出，
即，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
则，则，
令，其中，，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，则，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，所以，，可得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，.
故选：A.
8．（2023·全国·高二专题练习）若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
，
，
函数在定义域上单调递增，
在上恒成立，
由，解得，故的最大值是.
故选：C．
3．（多选）（2023春·广东云浮·高三校考阶段练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BCD
【详解】，且，
则，整理得
设，则只需要在上单调递减即可，
，
令，解得，
则，
所以BCD符合，
故选：BCD.
4．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(8)任取两个正数，当时，求证：.
【答案】(1)答案见解析；
(8)证明见解析.
【详解】（1）.
当时，，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当，即时，恒成立，所以在上单调递增.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（8）证明：由题意得，.
要证，
只需证，
即证，
即证.
令，
所以只需证在上恒成立，
即证在上恒成立.
令，则，
令，则.
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以.
所以.
5．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）设函数，．
(1)曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(8)讨论函数的单调性；
(3)证明：若，则对任意，，，有．
【答案】(1)
(8)答案不唯一，具体见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）函数的导数为，
在点处的切线斜率为，
解得；
（8）的定义域为，，
若即，则，故在单调递增．
若，而，故，则当时，；
当及时，
故在单调递减，在和单调递增．
若，即，
同理可得在单调递减，在和单调递增．
（3）欲证成立，
即证明，
设函数
则，
由于，故，
即在单调增加，
从而当时有，
即，故成立．
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