2023年高考数学必刷压轴题专题07一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题）含解析

这是一份2023年高考数学必刷压轴题专题07一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题）含解析，共24页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数，当时，单调递增；等内容，欢迎下载使用。

 专题07 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题）
利用导函数研究不等式有解（能成立）问题
①已知函数在区间上存在单调区间
②变量分离法
③双变量型
④最值法

①已知函数在区间上存在单调区间
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】B
，∴在x∈上有解，即ax+0在x∈上有解，
即a在x∈上有解．令g(x)，则g′(x)，∴g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，∴g(x)的最小值为g(e)=，∴a＞．
故选：B．
2．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
【答案】
，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，
即在上有解，
因为，且在上单调递减，
所以当时，，
所以.
故答案为：
3．（2022·福建龙岩·高二期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
解：，
因为函数在上存在单调递减区间，
所以在上有解，
即不等式在上有解，
令，
令，
则，
所以，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
4．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________．
【答案】
根据题意，函数，其导数，
若函数在定义域内存在单调递减区间，
则在上有解；
若，变形可得，
则在上能成立，
设，则，则，
则必有，
故的取值范围为；
故答案为：．
5．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.
【答案】
，其中，则．
由于函数存在单调递增区间，则，使得，
即，，构造函数，则．
，令，得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，
所以，，故答案为．
6．（2022·山东泰安·高二期中）已知函数.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若在存在单调递减区间，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)因为，
所以.
当，即，或时，函数可能有极值.
由题意，当时，函数有极大值，所以.     
当变化时，，的变化情况如下表所示：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当时，有极大值，此时，
所以.
(2)由（1）可知：，
当时，，或.
由题意，在存在单调递减区间，
所以在上有解，
由（1）知，在上单调递减，所以，
解得，或，即.
综上所述，的取值范围是.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在的切线与直线垂直，函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
【答案】（1）；（2）
（1）
,又函数在的切线与直线垂直

（2），
函数存在单调递减区间，则在上成立,
即在上成立
（当且仅当时等号成立）
，检验当时函数在单增，不满足题意，

②变量分离法
1．（2022·山西大附中高二期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
∵在上有解，
∴在上有解，
令，，则即可．
又，
令，解得，
∴当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
∴当时，取得最小值．
∴，则实数的取值范围是．
故选：B．
2．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
的定义域为，
，
∵当时， ，当时， ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即，
又∵存在，使得成立，
∴ ，解得，
则实数的取值范围为，
故选：D.
3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
令得，∴，
将化简得，
令，则，令，
∵，∴为增函数，
当时，，为增函数，；
当时，，为减函数，；
因此最小值为1，从而，即．
故选：A．
4．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））若关于x的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
当时，不等式可化为
令，则，
令可得，
当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，
又，．
由此可得函数的图象如下：

由已知不等式在区间上有且只有一个整数解，
∴
∴ ，
即实数k的取值范围为．
故选：D.
5．（2022·全国·高二）已知函数，若，，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
由，得．设，则．令，得；令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，
故．
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）关于x的不等式有且仅有两个整数解，则正数a的取值范围是_______．
【答案】
设，，有，
所以函数在上单调递减，上单调递增
当时，；当时，，
由题可得：，据此，作出函数，图象，如图．

观察图象可知：若要使不等式有且仅有两个整数解，
则满足，且
解得．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是________.
【答案】(－∞，e2－2]
由f(x)－m≥0得f(x)≥m，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
，
当x∈[1，e]时，，
此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).
即1≤f(x)≤e2－2，
要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.
故答案为：(－∞，e2－2]
8．（2022·全国·高二）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数在上存在1级“平移点”，则实数的最小值为___________.
【答案】
由在上存在1级“平移点”，则有解，即：，得：，
∴在上有解，
令，，则，
∴在上单调递增，则，
∴，即.
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．
【答案】
由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，
不妨设，因为，
所以，即．
令，则，则函数在上存在增区间，
则在上有解，即在上有解，
所以．
令，则，令，则，
又，所以单调递增，
所以，所以．
所以实数的取值范围为
故答案为：
10．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)
(1)．当时，单调递增；
当时，令，得．若单调递减，
若单调递增．
综上，当时，函数单调递增区间为，无减区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为上．
(2)由题设，在上，，设，则．
当时恒成立，所以在上单调递增，．于是，故．
11．（2022·广东实验中学附属天河学校高二期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)极小值为，无极大值(2)
(1)∵，定义域为
∴
设，可得或（舍），
由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当x变化时，，的变化情况如下表：


1


-
0
+

单调递减

单调递增
当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.
(2)在内存在x，使不等式成立
等价于，由（1）知
所以，即a的取值范围为
12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减(2)
(1)函数的定义域是
.
当时，由，得或，
由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减.
(2)至少存在一个，使得成立，即当时，
有解
∵当时，，∴有解，
令，则.
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数a的取值范围.
③双变量型
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．[，4]
C． D．
【答案】B
解：的导函数为，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，
故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，
所以对于任意的，．
因为开口向下，对称轴为轴，
所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得，，
可得，解得．
故选：B.
2．（2020·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（文））已知函数f（x）＝x2﹣3x，g（x）＝mx+1，对任意x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），则实数m的取值范围为（       ）
A．[，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[）
【答案】A
由题意在区间上的值域为,
当时，的值域为，所以，无解;
当时,显然不成立；当时，的值域为,
所以,解得,
综上.
故选:.
3．（2021·北京二中高一期末）已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.
当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）, y=的值域为[a+2,-a+2],
因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,
所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,
由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.
当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],
当a≥时，-a+2≤2a,由题得.
当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.
综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，
故选C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，.
若，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
B． C． D．
【答案】B
当时，，，
当，时，，
当，时，.
令，则，，
当时，，；
当时，，；
综上所述，；
由题意，得两个函数的值域的交集非空，
所以，解得.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数满足，且当时，，，对任意，存在，使得，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
当时，，
此时单调递减，所以，
当时，
在恒成立，
此时单调递增，所以，
在上的值域为，
，，
当时，，
在上的值域为，
为正实数，在上为增函数，
在上的值域为，
依题意，
，解得，
故a的取值范围是.
故选：A.
6．（2020·上海·模拟预测）已知函数（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】


由题意得
故答案为：
7．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是 ______ ．
【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）
若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调．
①当a=0时,，其图象如图所示，满足题意

②当a<0时,函数y=−x2+2ax的对称轴x=a<0，其图象如图所示，满足题意

③当a>0时,函数y=−x2+ax的对称轴x=a>0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调

则只要二次函数的对称轴x=a<1,或，
∴02，
综合得a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞).
8．（2020·黑龙江绥化·高一期末）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．
（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；
（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；
【答案】(1) （0，+∞）     (2) [，+∞）
解：（1）因为f（x）＞0⇔2x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．
∴实数x的取值范围为（0，+∞）．
（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．
∵f（x）＝2x在[1，+∞）上单调递增，
又 ∴A＝[，+∞）．
∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4．
∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，
即
依题意可得A∩B≠，
∴b+4，即b．
∴实数b的取值范围为[，+∞）
④最值法
1．（2022·天津河东·高二期中）已知函数，实数.
(1)讨论函数在区间上的单调性和极值情况；
(2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)，，．
(1)，x>0，
令，可得，(舍．
①当时，，
在上，，f(x)单调递减；在上，，f(x)单调递增；
f(x)有极小值，无极大值．
②当时，，
在上，，f(x)单调递减，f(x)无极值．
综上，当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值；
当时，f(x)在上单调递减，无极值．
(2)，
令，，则，
，，，
在递减，在递增，
，
依题意只需即可．
令，
令，可得，
在上，，h(x)递增；在上，，h(x)递减；
故(2)，
∴的解为a>0且a≠2，
实数的取值范围，，．
2．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当有最小值，且最小值小于时，求a的取值范围
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)函数的定义域为R，，
若，则，所以在R上单调递增；
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知，当时，在R上没有最小值，
当时，在处取得最小值，最小值为，即.
设，
当时，，不符合条件；
当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以当，时，，当时，.
因此a的取值范围是.