2023年高考数学必刷压轴题专题06一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）含解析

  专题06 一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）

①已知函数在区间上单调

1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

依题意可得，即对恒成立；

设，则，

∴在上单调递减，则，

则的取值范围是，

故选：B.

2．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知，若对于且都，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

依题意，所以，

设，则为增函数，

所以，化简整理得.而当时，的最大值为1，所以.

故答案为

3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））若函数在上为增函数，则的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

由题意函数在上为增函数,

可知，

即对恒成立，

所以．

故选：C

4．（2022·全国·高二课时练习）若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】B

解：由，可得，

由题意可得存在，使得，

即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，

故选B.

5．（2022·福建省永春第一中学高二期末）已知是上的单调增函数，则的取值范围是

A．﹣1b2 B．﹣1b2 C．b﹣2或b2 D．b﹣1或b2

【答案】A

∵

∴

∵函数是上的单调增函数

∴在上恒成立

∴，即.

∴

故选A.

6．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）已知函数在上为增函数，则a的取值范围是______．

【答案】

函数在上为增函数，

恒成立，

令

，

单调递减；

单调递增；

可得时，函数取得极小值，即：

，解得：，

a的取值范围是：.

故答案为：.

7．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数，若对任意，恒有成立，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

因为，

所以由

，

构造函数，所以有，

即

因为，所以函数是上增函数，

当时，，因为函数在上都是增函数，所以函数是上增函数，符合题意；

当时，，

因为函数函数在上都是增函数，

所以函数在和上单调递增，要想函数在上单调递增，

只需，

在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：

因为当时，，

所以由数形结合思想可得：当时，，当时，，

当时，设，设，当时，

单调递增，故单调递增，

所以有，

所以当时，由可得：，或，

综上所述：或，

故答案为：

8．（2022·广东·潮州市绵德中学高二期中）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．

【答案】，

解：在上是增函数，

，

，

由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，

，

，解得，

故答案为：，

9．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知函数.若函数在区间上不是单调函数，则实数t的取值范围为__________．

【答案】

求导得 ，

易知，，单增 ；，，单减；

若使在区间上不单调 ，

只需，则.

故答案为：

10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，且，，，恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

解：，，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，则在上恒成立，

即函数在区间上单调递减，

又，

在上恒成立，

当时，不等式可化为显然成立；

当时，不等式可化为，

令，

则在区间上恒成立，

函数在区间上单调递减，

，

，

即实数a的取值范围是.

故答案为：.

②变量分离法

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：，

，

令，显然为增函数，

则原命题等价于

，

又令，则，

所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，

所以，即恒成立，

所以，

所以，即得．

故选：B

2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学模拟预测（文））已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

依题意，在上是增函数，，不等式恒成立，

即恒成立，

等价于恒成立，

，

令，则，

易得，，.

故选：D.

3．（2022·全国·高三专题练习）设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】B

对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.

故选：B．

4．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

令，

所以，

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

所以，即时，恒成立，

所以当时，恒成立成立；

若当时，关于的不等式恒成立，则等价于当时，关于的不等式恒成立，

当时，不等式显然成立

当时，关于的不等式恒成立，即恒成立，

又函数在上单调递减，所以，

所以，即；

综上实数的取值范围是.

故选：A.

5．（2022·江西·二模（理））对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

设（），则，

当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

所以，当时，取得极小值也是最小值

即

令 （）, 则

所以

而即 当且仅当，即时取等号

所以

故选:D.

6．（2022·江西九江·三模（文））若对任意恒成立，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

不等式可化为，

当时，，

由已知可得，

设，则，

当时，，函数在为减函数，

当时，，函数在为增函数，

所以当时，函数取最大值，最大值为，

所以，所以，

当时，，

由已知可得，

设，则，

当时，，函数在为减函数，

当时，，函数在为增函数，

所以函数不存在最小值，且当且时，，

所以不成立，故

所以的最小值为，

故选：D.

7．（2022·山西·模拟预测（文））若函数，在定义域内任取两个不相等的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

根据题意由在上恒成立，

不妨设，则可变形为，

设，则函数在上单调递增，

即在上恒成立，

所以，令，因此．

故选：B

8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】

由得，

令，∴

∴在单调递增，

又∵

∴，在上恒成立，即

令，则

∴在单调递减，又因为，

∴．

故答案为：.

9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

设曲线过点的切线的切点为，

则切线的斜率，

所以，，切线方程为，

所以恒成立，

所以恒成立，

令，则

因为当，，，，

所以为的极小值点，又因为时，，

所以，所以.

故答案为：.

10．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）若，不等式恒成立，则的最大值为_____.

【答案】##

设，则，因为，

所以当时，，则函数单调递减；

当时，，则函数单调递增；

所以，

则，令，则；

由可得，；

所以当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减；

所以，即的最大值为.

故答案为：

11．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为______．

【答案】

恒成立，

令，则不等式转化为，

设函数，

显然，

当时，，则在（0，＋∞）上单调递增，故，符合题意；

当时，由于，故在（0，＋∞）上单调递增，存在满足，即在单调递减，单调递增，

因此时，，与题意矛盾．

综上所述，．

故答案为：（－∞，2]．

③变更主元法

1．（2021·全国·高一专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】．

解：由题意不等式对恒成立，

可设，，

则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．

2．（2021·山东省淄博实验中学高一期中）已知函数满足：当时，；当时，．

(1)求，的值；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；(2).

(1)函数，

∵当时，，当时，，

∴，解得，

∵，，

∴，；

(2)由可知，，

对任意的，不等式恒成立，

即对任意的恒成立，

令，

则，

∴，即，解得或，

综上所述，实数的取值范围为．

3．（2021·全国·高一课时练习）设集合．

(1)若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

(2)若对任意，不等式恒成立，求x的取值范围.

【答案】(1)(2)

(1)，设，，则，有一个解.

画出函数图像，根据图像知：，故.

(2)，即恒成立，设，

当时，时，，不成立；

当时，，成立；

当时，单调递减，，解得，故.

综上所述：.

4．（2021·全国·高一课时练习）已知关于x的不等式.

(1)若对任意实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】(1)不存在(2)

(1)原不等式等价于，

若对于任意实数x恒成立，当且仅当且，

即，此不等式组的解集为，

所以不存在实数m，使不等式对任意实数x恒成立.

(2)设，

当时，可看作关于m的一次函数，其图象是线段，

所以若对于，恒成立，

则当或时，恒成立，即，

由①，得，

由②，得或，

所以，

所以实数x的取值范围是.

5．（2021·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足：①当时；②当时，.

（1）求，的值.

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数取值范围.

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

（1）由题意可得：，即

所以，解得：，

又因为，所以，；

（2）由（1）可得，

因为恒成立，所以恒成立，

①当时，对于恒成立不符合题意；

②当时，，

解得：，

综上所述：实数取值范围；

（3）由题意可得：对于恒成立，

原不等式可化为，恒成立.

令，，

由，解得：或，

所以实数的取值范围为.

6．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

解：（1）依题可知，解得，所以当时，，

设，则，所以，

又是奇函数，，

即，所以当时，，

综上所述，

（2）当时，，所以在上单调递减，

又是上的奇函数，在上单调递减，

从而在上单调递减，

由，

可得，

又在上单调递减，

，即对任意的恒成立，

则，解得或

故的取值范围是.

7．（2021·全国·高一专题练习）已知函数（其中实数）．

（1）若不等式解集为时，求实数a的值；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

（1）由题设，是的解集，

为方程的根

由韦达定理，有，

整理得，

解得或；

（2）由题意，时恒成立，

当时，则有恒成立，符合题意；

当时，则有，

若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，

由，当时，

故在单调递增，

∴，解之得

综上，.

8．（2022·全国·高一期末）（1）解关于x的不等式

（2）若对任意a∈[-1，1]，恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】（1）详见解析；（2）

（1）不等式化简为，

当时，不等式等价于，

当时，即时，不等式的解集是或，

当时，即时，不等式的解集是，

当时，即时，不等式的解集是或，

当时，不等式等价于，不等式的解集是.

综上可知：时，不等式的解集是或，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是或，当时，不等式的解集是.

（2）不等式整理为，恒成立，

设，

可得： ，即

（1）解得：，（2）解得：或 ，

所以不等式的解集是

④双变量问题型

1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

，使得成立，等价于，

，

当时，，递减，当时，，递增，

所以当x＝－1时，取得最小值；

当x＝－1时取得最大值为，

所以，即实数a的取值范围是

故选：B．

2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，若，，恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

，，

当，，为减函数.

所以.

又因为在为增函数，

所以，.

因为，，恒成立，

所以即可，即，.

故选：A

3．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是

A． B． C．2 D．3

【答案】C

 由题意，对于，使得成立，

可转化为对于，使得成立，

又由，可得，

当时，，所以函数单调递增，

当时，，所以函数单调递减，

所以当时，函数有最大值，最大值为，

又由二次函数，开口向上，且对称轴的方程为，

①当，即时，此时函数，令，

解得（不符合题意，舍去）；

②当，即时，此时函数，令，

解得，（符合题意），

综上所述，实数的最小值为，故选C．

4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____．

【答案】

对任意，不等式恒成立

由 ，得 ，

时， ， 在 上递增

时， ， 在 上递减

由 ，得

时，， 在 上递减

时，， 在 上递增

由即 ，又因为为正实数

解得

故答案为：

5．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．

【答案】

因为，

所以，

当时，，当时，，

所以，

因为开口方向向下，

所以在区间上的最小值的端点处取得，

所以要使对，，使得成立，

只需，即或，

即或，

解得，

所以a的取值范围是，

故答案为：

6．（2022·天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

∵，，使得成立，

∴．

由，得，

当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为．

又在上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为，

∴，即实数的取值范围是．

故答案为：.

7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

，，使得成立等价于在上，

．

易得，当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为．易知在上单调递增，

∴函数在区间上的最小值为，

∴，即实数的取值范围是．

故答案为：

8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.

【答案】

对任意都存在使成立，

所以得到，

而，所以，

即存在，使，

此时，，

所以，

因此将问题转化为

存在，使成立，

设，则，

，

当，，单调递增，

所以，

即，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.