备战2025年高考数学压轴题训练专题05一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题05一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)(学生版+解析)，共24页。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22015" 一、构造或(，且)型 PAGEREF _Tc22015 \h 1
\l "_Tc11460" 二、构造或(，且)型 PAGEREF _Tc11460 \h 2
\l "_Tc9801" 三、构造或型 PAGEREF _Tc9801 \h 3
\l "_Tc814" 四、构造或型 PAGEREF _Tc814 \h 4
\l "_Tc1874" 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc1874 \h 5
一、构造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
且，则的解集是 ．
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
三、构造或型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24·山东潍坊·模拟预测）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为 ．
5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ．
6．（23-24·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为 .
四、构造或型
1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ．
5．（23-24高二下·重庆·期末）偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 .
五、根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
专题05一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22015" 一、构造或(，且)型 PAGEREF _Tc22015 \h 1
\l "_Tc11460" 二、构造或(，且)型 PAGEREF _Tc11460 \h 5
\l "_Tc9801" 三、构造或型 PAGEREF _Tc9801 \h 8
\l "_Tc814" 四、构造或型 PAGEREF _Tc814 \h 14
\l "_Tc1874" 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc1874 \h 19
一、构造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在 上单调递增，在 上单调递减；分 与 两类讨论，将不等式 等价转化为 与 ，分别解之即可．
【详解】令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，
又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，
故选：D.
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】
构造函数，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
4．（2024高二下·全国·专题练习）已知是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且当时，．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】令，得，结合条件推出的正负，得到的单调性，然后判断、 、大小关系，即可得出答案.
【详解】令，得．
∵当时，，
∴当时，，故在上单调递减．
又，，，
∴，
∴，故．
故选：C．
5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 .
【答案】
【优尖升-分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解.
【详解】当时，由，
得，即.
令，则在上也为偶函数，
且当时，总成立，在上是增函数.
不等式可化为，
则，又，解得.
故答案为：
6．（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【优尖升-分析】构造函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，即可将问题转化为与有关问题，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得.
【详解】令，则，
由当时，，即，
故当时，，即在上单调递增，
，故为奇函数，
故在上也单调递增，
由，则，，
不等式可化为，
即当时，，当时，，
即当时，，当时，，
结合单调性，即有或.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，再结合函数单调性于奇偶性计算即可得解.
7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集.
【详解】令且，则，
又当时，，所以当时，，所以在上递增，
由为偶函数，则，故为奇函数，
所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图：
又等价于，等价于或，等价于或，
所以或，故.
故答案为：.
二、构造或(，且)型
1．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故选：C
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】依据题意，合理构造函数，利用导数解不等式即可.
【详解】令，故，故在上单调递增，
若，则，
故解即可，由题意得解即可，解得，
故不等式的解集是，即A正确.
故选：A
3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
5．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）对上可导的函数，若满足，且，则的解集是 ．
【答案】
【优尖升-分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.
【详解】令，，而，
易知，故，则在上单调递增，
而，若，则，则.
故答案为：
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【优尖升-分析】构造，利用导数得在上单调递增，把转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
三、构造或型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出函数的符号分布情况，即可得解.
【详解】令，
则，
所以函数在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数为偶函数，
又，所以，
则当或时，，
当或时，，
由，
得或，
解得或，
所以关于的不等式的解集为.
故选：A.
2．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得.
【详解】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
3．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.
【详解】令，则，
因为，则，且，
可知，且仅当时，则在上单调递增，
又因为为偶函数，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果.
4．（23-24·山东潍坊·模拟预测）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【优尖升-分析】根据题意构造函数，求导，由是奇函数，判断奇偶性，判断单调性，进而解不等式.
【详解】根据题意构造函数，则
由是奇函数，则,
所以是偶函数，
由时，，
所以当，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
又，所以,
所以当时，转化为,所以，
当时，转化为，所以，
故答案为：
5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【优尖升-分析】
由时，，可构造函数，判断其单调性，即可求得时，即的解集，再利用函数单调性和奇偶性，结合时，，即，可解得此时解集，综合可得答案.
【详解】由题意知当时，，，
故令，则，
即在上单调递增，且，
故由可解得，
即当时，，则即；
此时的解集为；
当时，，则即，
因为是定义在上的奇函数，
故为上的偶函数，
则在上单调递减，且，
故由可解得，
当时，无意义，
综合可得不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题是关于函数的奇偶性以及单调性综合型题目，解答时要根据已知时，，根据其结构特征构造函数，并由此判断其单调性，再根据函数奇偶性，结合不等式变形，即可求解.
6．（23-24·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为 .
【答案】
【优尖升-分析】化简条件式得，构造函数及，判断其单调性即可.
【详解】∵，∴，则化简得：，
令，则，
即，
令，则，故在上单调递增，
则，
故答案为：
四、构造或型
1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案.
【详解】令，，
故恒成立，
故在上单调递增，
故，即.
故选：B
2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论．
【详解】
当，
则不等式等价为，
即，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
则，，，，
即，，
，，
则，故A正确；
，得不出，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
3．（23-24·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，
所以，
易知当时，，所以函数在上单调递减．
因为，则，
由，则，
且，
因为函数在上单调递减，且，
所以，即，
故选：C．
4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【优尖升-分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型.
5．（23-24高二下·重庆·期末）偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【优尖升-分析】令，，依题意可得为偶函数且在上单调递减，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，，因为定义域为上的偶函数，
所以，则，即为偶函数，
又，
因为对，有成立，所以当时，
即在上单调递减，则在上单调递增，
又，所以，则不等式等价于，
即，即，所以，解得或，
所以不等式的解集为.
【优尖升-分析】构造函数，由的单调性可知，所以，再由可得，所以，即可得出答案.
【详解】构造函数，的定义域为，
，令可得：，令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，即，
变形可得，即，所以；
又，所以，又因为，
所以，综上，，
故选：B．
2．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】设，利用求导判断该函数的单调性，比较的大小，再设，利用求导判断函数的单调性，得到，可比较的大小，即得.
【详解】设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
因，则，即得；
再设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故时，，则，即，故得.
综上，可得.
故选：A.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解.
【详解】因为，故，
故，
因为是定义在上的奇函数，故，
故，故，故，
此时，故为上的减函数，
而等价于，
即即，故或
故选：A .
4．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【优尖升-分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
所以函数在上是减函数，
由，得，
即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】构造函数，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由知是奇函数，，
设，则，
在上单调递增，由得，
即，，得的取值范围是.
故答案为：