2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了个五边形等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（3a）2＝6a2
C．（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2D．a•2a＝3a
4．（3分）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．xB．C．D．
5．（3分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）
A．4，5．B．3，6C．3，5D．2，8
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝30°，∠DAC＝35°，则∠BDA的度数为（ ）
A．40°B．50°C．65°D．70°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD：∠DAB＝1：2，则∠B＝（ ）
A．34°B．36°C．60°D．72°
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5B．4.2C．5.8D．7.3
9．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
10．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6B．7C．8D．9
11．（3分）若a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（ ）
A．125B．120C．110D．100
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（ ）个．
①BF＝AC；
②CE＝BF；
③△DGF是等腰三角形；
④BD+DF＝BC；
⑤；
A．5B．4C．3D．2
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：4x2y2﹣2xy＝ ．
14．（3分）将数0.00001032用科学记数法表示是 ．
15．（3分）已知点M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于y轴对称，则ba的值为 ．
16．（3分）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
17．（3分）若分式值相等，则x的值为 ．
18．（3分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 度．
三．解答题（本题共8小题，19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共66分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）（x﹣2y）（2x+y）+x（﹣2x﹣y）．
20．（6分）因式分解：
（1）（m+1）（m﹣9）+8m；
（2）x2﹣x﹣6．
21．（8分）分式的化简求值：
（1）先化简，再求值：，其中a＝2．
（2）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
22．（8分）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在边BC上，且BD＝BE，连接AD、CE，AD与CE相交于点F，∠BAD＝∠BCE．
求证：（1）BA＝BC；
（2）△AFC为等腰三角形．
23．（9分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，D是BC上一点，且∠ADC＝60°，CF⊥AD于F，AE⊥BC于E，AE交CF于G．
（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若FD＝1，AF＝，求线段EG的长．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
25．（10分）（1）如图1，A（0，a），B（b，0）．若a，b满足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，求A、B的坐标．
（2）在（1）的条件下，点C为线段AB上的一点，AE⊥OC，BF⊥OC，垂足分别为E、F、若AE＝m，BF＝n，m﹣n＝1，求线段EF的长．
（3）如图2，A（0，a），B（b，0），点P为△ABO的角平分线的交点，若a，b满足a+b＝0，PN⊥PA交x轴于N，延长OP交AB于M，直接写出AB、ON、PM之间的数量关系（不需要写出证明过程）．
26．（10分）新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图，四边形ABCD是“等腰四边形“，BD为“界线”，若∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝ ．
（2）四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD＝80°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝ ．
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
2022-2023学年湖南省长沙市长沙县湘郡未来实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若n是任意实数，则点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：∵n是任意实数，
∴n2+1＞0，
∵点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点为：（﹣1，﹣n2﹣1），
∴﹣1＜0，﹣n2﹣1＜0，
∴点N（﹣1，n2+1）关于x轴对称的点在第三象限，
故选：C．
【点评】此题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（3a）2＝6a2
C．（﹣a）4÷（﹣a）2＝a2D．a•2a＝3a
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂除法以及单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，原式计算错误，本选项不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，原式计算错误，本选项不符合题意；
C、（﹣a）4÷（﹣a）2＝a4÷a2＝a2，原式计算正确，本选项符合题意；
D、a•2a＝2a2，原式计算错误，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂除法以及单项式乘单项式的法则，解题的关键是熟记法则并灵活运用．
4．（3分）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．xB．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C、分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
D、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
5．（3分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）
A．4，5．B．3，6C．3，5D．2，8
【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的AB＝8，
∴另外两边长的和大于8，
∴另外两边的长不可能是3，5，
故选：C．
【点评】题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的取值范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝30°，∠DAC＝35°，则∠BDA的度数为（ ）
A．40°B．50°C．65°D．70°
【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝30°，
∴∠C＝∠E＝30°，
∵∠BDA＝∠C+∠DAC，∠DAC＝35°，
∴∠BDA＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质、三角形外角性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD：∠DAB＝1：2，则∠B＝（ ）
A．34°B．36°C．60°D．72°
【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B＝∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．
【解答】解：∵D是线段AB垂直平分线上的点，
∴AD＝BD，
∴△DAB是等腰三角形，∠B＝∠DAB，
∵∠CAD：∠DAB＝1：2，
∴设∠DAC＝x，则∠B＝∠DAB＝2x，
∴x+2x+2x＝90°，
∴x＝18°，
即∠B＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5B．4.2C．5.8D．7.3
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×8＝4，
∵点P是BC边上的动点，
∴4＜AP＜8，
∴AP的值不可能是3.5．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
9．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴﹣＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6B．7C．8D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
11．（3分）若a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（ ）
A．125B．120C．110D．100
【分析】根据a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab．直接代入求值即可．
【解答】解：∵（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab．
∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab．
∵a﹣2b＝10，ab＝5．
∴a2+4b2＝102+4×5＝120．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，灵活变换完全平方公式是解题的关键．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（ ）个．
①BF＝AC；
②CE＝BF；
③△DGF是等腰三角形；
④BD+DF＝BC；
⑤；
A．5B．4C．3D．2
【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求＝，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC，故①正确．
∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠A＝∠BCA＝67.5°，
∴BA＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDC＝90°，BH＝HC，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BDF＝∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，故③正确．
∵△BDF≌△CDA，
∴DF＝AD，
∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离，
∴＝，故⑤正确，
故选：A．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：4x2y2﹣2xy＝ 2xy（2xy﹣1） ．
【分析】直接提取公因式2xy，进行分解因式即可．
【解答】解：原式＝2xy（2xy﹣1）．
故答案为：2xy（2xy﹣1）．
【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
14．（3分）将数0.00001032用科学记数法表示是 1.032×10﹣5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00001032＝1.032×10﹣5．
故答案为：1.032×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）已知点M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于y轴对称，则ba的值为 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）关于y轴对称，
∴a﹣1＝﹣2，b﹣1＝5，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握关于y轴的点的坐标坐标特点．
16．（3分）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ 4 ．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
17．（3分）若分式值相等，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】根据分式值相等建立方程，去分母，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：由题知：，
去分母得：x﹣4＝4x+2，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（2x+1）（x﹣4）≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是转化思想把分式方程转化为整式方程，注意分式方程需要检验．
18．（3分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 30 度．
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30．
【点评】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（本题共8小题，19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共66分）
19．（6分）计算：
（1）．
（2）（x﹣2y）（2x+y）+x（﹣2x﹣y）．
【分析】（1）先根据乘方的意义，负整数次幂的意义和零次幂的意义进行化简，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据整式的混合运算法则，进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+9+8
＝17．
（2）原式＝2x2+xy﹣4xy﹣2y2﹣2x2﹣xy
＝﹣4xy﹣2y2．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，零次幂，负整数次幂以及整式的乘法运算，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
20．（6分）因式分解：
（1）（m+1）（m﹣9）+8m；
（2）x2﹣x﹣6．
【分析】（1）先化简，然后再对化简后的式子利用平方差公式分解即可．
（2）利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣8m﹣9+8m＝m2﹣9＝（m+3）（m﹣3）；
（2）原式＝（x﹣3）（x+2）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．（8分）分式的化简求值：
（1）先化简，再求值：，其中a＝2．
（2）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】（1）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件代值计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝，
当a＝2时，原式＝；
（2）
＝
＝
＝，
∵，
∴，
∴当a＝﹣1时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在边BC上，且BD＝BE，连接AD、CE，AD与CE相交于点F，∠BAD＝∠BCE．
求证：（1）BA＝BC；
（2）△AFC为等腰三角形．
【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案；
（2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，进而可求解∠FAC＝∠FCA，即可证明结论．
【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过△ABD≌△CBE是解题的关键．
23．（9分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，D是BC上一点，且∠ADC＝60°，CF⊥AD于F，AE⊥BC于E，AE交CF于G．
（1）求证：△AFG≌△CFD；
（2）若FD＝1，AF＝，求线段EG的长．
【分析】（1）根据AAS即可得到两三角形全等；
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到FD等于CD的一半，由第一问的结论可知FG等于DF都等于1，由全等得到CF等于AF，利用CF减FG即可求出CG，所以EG等于CG的一半即可求出．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠DAC＝45°，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠CDF+∠DCF＝∠CGE+∠DCF＝90°，
∴∠CDF＝∠CGE，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠CDF，
∵在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS）；
（2）解：在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
∴CD＝2DF＝2，
∵△AFG≌△CFD，
∴FG＝DF＝1，
∴CF＝AF＝，
∴CG＝CF﹣FG＝﹣1，
在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，
∴EG＝CG＝．
【点评】此题考查全等三角形全等的判定与性质，灵活运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
24．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；
（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．
【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）直线BD，AH平行．理由：
∵BC＝3BP，
∴BP＝PC＝PD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE＝∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP＝×150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．
25．（10分）（1）如图1，A（0，a），B（b，0）．若a，b满足2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，求A、B的坐标．
（2）在（1）的条件下，点C为线段AB上的一点，AE⊥OC，BF⊥OC，垂足分别为E、F、若AE＝m，BF＝n，m﹣n＝1，求线段EF的长．
（3）如图2，A（0，a），B（b，0），点P为△ABO的角平分线的交点，若a，b满足a+b＝0，PN⊥PA交x轴于N，延长OP交AB于M，直接写出AB、ON、PM之间的数量关系（不需要写出证明过程）．
【分析】（1）由非负性可求a＝2，b＝﹣2，可求点A，点B坐标．
（2）由“AAS”可证△AEO≌△OFB，可得AE＝OF＝m，OE＝BF＝n，即可求解；
（3）过点P作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，由“AAS”可证△APM≌△NPF，可得FN＝AM，即可求解．
【解答】解：（1）∵2a2+b2+2ab﹣4a+4＝0，
∴（a+b）2+（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴点A（0，2），点B（﹣2，0）；
（2）如图1，
∵点A（0，2），点B（﹣2，0），
∴OB＝OA＝2，
∵∠AOB＝∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠FBO，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△AEO和△OFB中，
，
∴△AEO≌△OFB（AAS），
∴AE＝OF＝m，OE＝BF＝n，
∴EF＝OF﹣OE＝m﹣n＝1；
（3）ON+PM＝AB，
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
∵点P为△ABO的角平分线的交点，
∴AP平分∠BAO，OP平分∠AOB，
∴AM＝BM＝AB，OM⊥AB，∠BOM＝∠AOM＝45°，∠PAM＝∠PAE，
∴∠POF＝∠OPF＝45°，
∴OF＝PF，
∵AP平分∠BAO，OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥OB，OM⊥AB，
∴PF＝PE＝PF，
∵PE⊥AO，∠AOB＝90°，
∴PE∥BO，
∴∠EPN＝∠PNF，
∵∠APE+∠PAE＝90°＝∠APE+∠EPN，
∴∠PAE＝∠EPN，
∴∠PAM＝∠PNF，
又∵∠AMP＝∠PFN＝90°，MP＝PF，
∴△APM≌△NPF（AAS），
∴FN＝AM，
∴ON+PM＝ON+PF＝ON+OF＝FN＝AM＝AB．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．（10分）新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图，四边形ABCD是“等腰四边形“，BD为“界线”，若∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝ 45° ．
（2）四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD＝80°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝ 65°或35°或95° ．
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．
【分析】（1）由“等腰四边形”的定义，得AB＝AD，CB＝CD，即可求得∠ABD＝30°，∠CBD＝15°，所以∠ABC＝45°，于是得到问题的答案；
（2）由∠BAD＝80°，∠BCD＝150°，且△CBD是等腰三角形，得CB＝CD，则∠CBD＝∠CDB＝15°，再分三种情况讨论，一是AB＝AD，则∠ABD＝50°，可求得∠ABC＝65°；二是AB＝DB，则∠BDA＝∠BAD＝80°，所以∠ABD＝20°，可求得∠ABC＝35°；三是AD＝BD，则∠ABD＝∠BAD＝80°，可求得∠ABC＝95°；
（3）分三种情况讨论，一是四边形ABCD“等腰四边形”，且AB＝AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，则∠ADB＝∠ABD＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°，所以∠ADC＝90°；二是四边形ABCD“等腰四边形”，且AB＝DB，可证明△BCD是等边三角形，则∠CDB＝∠DBC＝60°，所以∠ABD＝30°，则∠ADB＝∠DAB＝75°，所以∠ADC＝135°；三是四边形ABCD“等腰四边形”，且AD＝BD，设AB＝BC＝CD＝a，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，可证明△DCF是等边三角形，得∠CDF＝60°，则∠EDC＝∠CDF＝30°，∠BDE＝∠CDB＝∠EDC＝15°，所以∠ADE＝∠BDE＝15°，得∠ADC＝45°．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°，∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，
∴2∠ABD+120°＝180°，2∠CBD+150°＝180°，
∴∠ABD＝30°，∠CBD＝15°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+15°＝45°，
故答案为：45°．
（2）∵∠BAD＝80°，∠BCD＝150°，且△CBD是等腰三角形，
∴CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝＝15°，
当AB＝AD时，如图2，则∠ABD＝＝50°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+15°＝65°；
当AB＝DB时，如图3，则∠BDA＝∠BAD＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝20°+15°＝35°；
当∴AD＝BD时，如图4，则∠ABD＝∠BAD＝80°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝80°+15°＝95°，
综上所述，∠ABC＝65°或∠ABC＝35°或∠ABC＝95°，
故答案为：65°或35°或95°．
（3）如图5，四边形ABCD“等腰四边形”，且AB＝AD，
∵AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，
∵AB＝BC＝CD＝AD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝45°+45°＝90°；
如图6，四边形ABCD“等腰四边形”，且AB＝DB，
∵AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，
∴BD＝BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝ABC﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ADB＝∠DAB＝＝75°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝75°+60°＝135°；
如图7，四边形ABCD“等腰四边形”，且AD＝BD，设AB＝BC＝CD＝a，
作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，
∴AE＝BE＝AB＝a，DE垂直平分CF，
∴FD＝CD＝a，
∵∠ABC＝∠AED＝90°，
∴BC∥ED，
∵BE⊥ED，CG⊥ED，
∴CG＝BE＝a，
∴FG＝CG＝a，
∴CF＝CG+FG＝a，
∴FD＝CD＝CF，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
∴∠EDC＝∠CDF＝30°，
∵∠BDE＝∠CBD，∠CDB＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠CDB＝∠EDC＝15°，
∴∠ADE＝∠BDE＝15°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝15°+30°＝45°，
综上所述，∠ADC的度数为90°或135°或45°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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