2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）第三次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径约为0.00008毫米，则0.00008用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7B．8×10﹣5C．8×10﹣6D．80×10﹣6
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠CD．BD＝CD
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝4.5，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．x+1＝yB．2x+1＝yC．x﹣1＝yD．2x﹣1＝y
7．（3分）如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．85°B．80°C．75°D．70°
8．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
9．（3分）要调查下列问题，适合采用抽样调查的是（ ）
A．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况
B．检测我国研制的C919大飞机的零件的质量
C．调查某批次汽车的抗撞击能力
D．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
10．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．（3分）分解因式：a2﹣ab＝ ．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）已知am＝2，an＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝ ．
14．（3分）如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为 ．
15．（3分）如果x2﹣mx+81是一个完全平方式，那么m的值为 ．
16．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP＝10cm，点E、F是∠AOB两边OA、OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF距离是 ．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）3x2﹣18x+27．
19．（6分）先化简再求值，其中x＝1．
20．（8分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
（1）本次被调查的学生数为 ；
（2）统计表中a＝ ，扇形统计图B部分圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．
21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
22．（9分）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD＝2，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的度数；
（3）若CD＝5，求△AMD的面积．
24．（10分）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“雅美数”．
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 ．
（2）若二次三项式x2﹣6x+13（x是整数）是“雅美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为 ．
（3）[问题探究]已知S＝x2+4y2+8x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数且x≠﹣4，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值．
（4）[问题拓展]已知实数M，N是“雅美数”，求证：M⋅N是“雅美数”．
25．（10分）已知A（m，0），B（0，n），满足：．
（1）求m和n的值；
（2）如图，点D是A点左侧的x轴上一动点，连接BD，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接AB、EA，EA交BD于点G．
①求证：∠AED＝∠ABD；
②当AB＝AD时，求证：AE平分∠BED．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径约为0.00008毫米，则0.00008用科学记数法表示为（ ）
A．0.8×10﹣7B．8×10﹣5C．8×10﹣6D．80×10﹣6
【分析】将0.00008写成a×10﹣n的形式即可，其中1≤|a|＜10，n为正整数．
【解答】解：0.00008＝8×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，故此选项符合题意；
B．2a+3a＝5a，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠CD．BD＝CD
【分析】证△ABD≌△ACD（SAS），得∠B＝∠C，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，则AD⊥BC，当∠BAC＝90°时，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，即可得出结论．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝×180°＝90°，
∴AD⊥BC，
当∠BAC＝90°时，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明△ABD≌△CAD是解题的关键．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据两个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x≤1，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x﹣y＝4.5，则符合题意的另一个方程是（ ）
A．x+1＝yB．2x+1＝yC．x﹣1＝yD．2x﹣1＝y
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；绳长+1＝木长，据此可列方程组求解．
【解答】解：设绳长x尺，木长为y尺，
依题意得：．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
7．（3分）如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．85°B．80°C．75°D．70°
【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝55°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+55°＝85°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
8．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．a2﹣b2﹣c2＝（a+b）（a﹣b）﹣c2
C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
D．x﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
9．（3分）要调查下列问题，适合采用抽样调查的是（ ）
A．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况
B．检测我国研制的C919大飞机的零件的质量
C．调查某批次汽车的抗撞击能力
D．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
B．检测我国研制的C919大飞机的零件的质量，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
C．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查，故本选项符合题意；
D．选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，适合采用全面调查，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR＝AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；无法判断PB＝PC故△BRP≌△QSP错误，然后根据线段垂直平分线的判定即可得到AP垂直平分RS．
【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2＝AP2﹣PR2，AS2＝AP2﹣PS2，
∵AP＝AP，PR＝PS，
∴AR＝AS，∴②正确；
连接AP．
∵AQ＝QP，
∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，
∴∠QPA＝∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
无法判断PB＝PC，故④错误；
连接RS，
∵PR＝PS，
∴点P在RS的垂直平分线上，
∵AS＝AR，
∴点A在RS的垂直平分线上，
∴AP垂直平分RS，∴①正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．（3分）分解因式：a2﹣ab＝ a（a﹣b） ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣5 ．
【分析】分式有意义，分母不为零．
【解答】解：根据题意，得
x+5≠0，
解得，x≠﹣5；
故答案为：x≠﹣5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．（3分）已知am＝2，an＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝ 72 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am＝2，an＝3（m，n为正整数），
∴a3m+2n＝（am）3×（an）2
＝23×32
＝8×9
＝72．
故答案为：72．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确正确相关运算法则是解题关键．
14．（3分）如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为 8 ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BD，从而可得∠D＝∠BAD＝15°，然后利用三角形的外角性质可得∠ABC＝30°，最后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵B点在AD的垂直平分线上，
∴BA＝BD，
∴∠D＝∠BAD＝15°，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝30°，
∵∠ACD＝90°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如果x2﹣mx+81是一个完全平方式，那么m的值为 ±18 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+81是一个完全平方式，
∴m＝±18，
故答案为：±18
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP＝10cm，点E、F是∠AOB两边OA、OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF距离是 5cm ．
【分析】作P关于OA的对称点，以及关于OB的对称点，连接两个对称点，交OA、OB分别于E、F，则此时△PEF的周长最小，则PM的长度就是所求的量，利用直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：作P关于OA的对称点，以及关于OB的对称点，连接两个对称点，交OA、OB分别于E、F，则此时△PEF的周长最小，
∵点P在∠AOB的角平分线上，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴直角△OPG中，PG＝OP＝5cm．
∴PP1＝2PG＝10cm．
∴∠P1PO＝60°，
∴∠P1＝30°，
∴PM＝PP1＝5cm．
故答案为5cm．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及最短路径问题，正确确定E、F的位置是关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1﹣4﹣2﹣（﹣1）
＝1﹣4﹣2﹣+1
＝﹣4﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，立方根，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）3x2﹣18x+27．
【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣2
＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）；
（2）3x2﹣18x+27
＝3（x2﹣6x+9）
＝3（x﹣3）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19．（6分）先化简再求值，其中x＝1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
20．（8分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
（1）本次被调查的学生数为 120人 ；
（2）统计表中a＝ 54 ，扇形统计图B部分圆心角为 90 度；
（3）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．
【分析】（1）用A组别学生的人数除以所对应的百分比就可以得到被调查学生的总数；
（2）用被调查学生的总数减去A、B、三个组别的人数可得到C组别的人数，即可求出a的值；360°乘B组别所占的百分比可求出扇形统计图B部分圆心角；
（3）用2400乘每天体育锻炼时间不少于1小时的学生的占比即可求出答案．
【解答】解：（1）由统计表可知，A级学生数是12人，由扇形图可知，A级学生所占的百分比是10%，则本次被调查的学生数为：12÷10%＝120人．
故答案为：120人；
（2）a＝120﹣12﹣30﹣24＝54；360°×25%＝90°．
故答案为：54，90；
（3）2400×[1﹣（10%+25%）]＝1560（人）．
故答案为：1560人．
【点评】本题考查了扇形统计图和用样本估计总体，读懂题意是解题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠DBC＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
22．（9分）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：，
解得：，
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
（2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个．
根据题意得：，
解得，
又∵n为正整数，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，
②购买排球28个，篮球22个，
③购买排球27个，篮球23个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD＝2，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的度数；
（3）若CD＝5，求△AMD的面积．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，根据已知条件即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM＝CN，由△ADM≌△CDN，可得∠ADM＝∠CDN，再根据∠CDN+∠ADN＝90°，可得∠ADM+∠ADN＝90°，即可得出∠MDN＝90°．
（3）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD与△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CDE，
∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE，
∵M、N分别是AB、CE的中点，
∴AM＝AB，CN＝CE，
∴AM＝CN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADN＝90°，
∴∠ADM+∠ADN＝90°，
∴∠MDN＝90°；
（3）解：∵AD＝CD＝5，BD＝2，
∴，
∵M是AB的中点，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
24．（10分）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方．
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为5＝22+12.再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“雅美数”．
（1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 4，8 ．
（2）若二次三项式x2﹣6x+13（x是整数）是“雅美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为 12 ．
（3）[问题探究]已知S＝x2+4y2+8x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数且x≠﹣4，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值．
（4）[问题拓展]已知实数M，N是“雅美数”，求证：M⋅N是“雅美数”．
【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论．
【解答】解：（1）4是“雅美数”，
理由：因为4＝22+02；
8是“雅美数”，
理由：因为8＝22+22．
故答案为：4，8；
（2）∵x2﹣6x+13＝x2﹣6x+9+4＝（x﹣3）2+22，
∴m＝3，n＝4，
∴mn＝12，
故答案为：12；
（3）S＝x2+4y2+8x﹣12y+k＝（x+4）2+（2y﹣3）2+k﹣25，
又∵x≠﹣4，y≠，
∴（x+4）≠0，（2Y﹣3）≠0，
∴k﹣25＝0，
∴k＝25；
（4）因为M，N为“雅美数”，则令M＝a2+b2，N＝c2+d2（a，b，c，d为整数），
∴MN＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2﹣2abcd）+（b2c2+a2d2﹣2abcd
＝（ac+bd）2+（bc﹣ad）2，
又∵a，b，c，d为整数，
∴ac+bd，bc﹣ad均为整数，
∴M﹣N是“雅美数”．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
25．（10分）已知A（m，0），B（0，n），满足：．
（1）求m和n的值；
（2）如图，点D是A点左侧的x轴上一动点，连接BD，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接AB、EA，EA交BD于点G．
①求证：∠AED＝∠ABD；
②当AB＝AD时，求证：AE平分∠BED．
【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性求解即可；
（2）①过点E作EH⊥x轴于点H，首先根据同角的余角相等得到∠BDO＝∠DEH，然后证明△EHD≌△DOB（AAS），进而得到△EHA为等腰直角三角形，即可求解；
②过点A作AM⊥BE交于点M，过点A作AN⊥ED延长线交于点N，首先根据四边形内角和得到∠ABE＝∠ADN，然后证明△ABM≌△ADN（AAS），最后根据角平分线的性质定理的逆定理求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴n﹣4＝0，m+n＝0，
解得m＝﹣4，n＝4，
∴m＝﹣4，n＝4；
（2）证明：①如图，过点E作EH⊥x轴于点H．则∠EDH+∠DEH＝90°．
∵∠EDB＝90°．
∴∠EDH+∠BDO＝90°．
∴∠BDO＝∠DEH．
在△EHD和△DOB中，
，
∴△EHD≌△DOB（AAS）．
∴DH＝OB＝OA＝4，EH＝OD．
而AH＝DH+AD＝OA+AD＝OD．
∴EH＝AH．
∴△EHA为等腰直角三角形，
∴∠AEH＝45°＝∠BAO，
又∵∠BAO＝∠BDA+∠ABD，∠AEH＝∠AED+∠DEH，
∴∠AED＝∠ABD．
②如图，过点A作AM⊥BE交于点M，过点A作AN⊥ED延长线交于点N．
∴∠AND＝∠AMB＝90°，
又∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAD＝135°，
又∵∠BED＝45°，四边形ABED内角和360°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
又∵∠ADN+∠ADE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS）．
∴AM＝AN．
∴∠AED＝∠AEB，
即AE平分∠BED．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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