专题11逻辑推理与判断-解析版

这是一份专题11逻辑推理与判断-解析版，共14页。试卷主要包含了逻辑推理之充要思考，估值技术胜似逻辑判断，摒弃数学思维定式，逻辑分析时摒弃负迁移思维，关注非命题对逻辑推埋影响，关注反证法的规范表述等内容，欢迎下载使用。
一、逻辑推理之充要思考
问题1:已知函数f(x)=x2,定义数列an:an+1=fan,n∈N*,若给定a1的值,得到无穷数列an满足对任意正整数n,均有an+1>an,则a1的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)D.(-1,0)
【解析】卡壳点:把必要性思考当作充要性结果,只考虑必要性而导致失误.
应对策略:顺着推出结论后,还要逆向推进行检验.
问题解答:由an+1>an得an2>an,所以an>1或an1或a1an时,a1>1或a11或a1an吗?
当a1∈[-1,0)时,a3=a22=a14⩽a12=a2,所以舍去B,D.
当a1∈(-∞,-1)时,a2=a12>1>a1,a3=a22=a14>a12=a2.
所以an+1=an2>an(当n⩾2时,an>1),舍去C.故选A.
【反思】(1)问题求解时,要一正一反地思考,先求必要条件a1>1或a1526,可知选择C.
【反思】一是缺少估值或估值判断失误,即没有对(*)式使用均值不等式得到最大值526,或对526与3的大小判断失误.
二是对选择支中角的正切值的分析不到位,选项A,B,D的正切值的绝对值均不大于1,选项C的正切值的绝对值大于1,对这一差异性缺乏逻辑敏感.
三、摒弃数学思维定式
问题3:已知函数f(x)=3sin⁡ωx⋅cs⁡ωx-cs2⁡ωx+32(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且当x=π6时,函数有最小值.
(I)求f(x)的解析式;
(II)在坐标纸上作出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
【解析】卡壳点:有限区间对画三角函数图象的影响处理不当.
应对策略:先画图,再截取.
问题解答:(I)因为f(x)=3sin⁡ωx⋅cs⁡ωx-cs2⁡ωx+32
=32sin⁡2ωx-12(1+cs⁡2ωx)+32=sin⁡2ωx-π6+1,
又f(x)的周期为π,所以2π|2ω|=π,解得ω=±1.
当ω=1时,f(x)=sin⁡2x-π6+1,因为fπ6=sin⁡π6+1不是最大或最小值,故舍去.
当ω=-1时,f(x)=-sin⁡2x+π6+1,因为.fπ6=-sin⁡π2+1=0是最小值,故f(x)的解析式为f(x)=1-sin⁡2x+π6
(II)画出f(x)的图象,如图1(x=0与x=π处的高度应一致).
图1
【反思】第一步:将f(x)化简为sin⁡2ωx-π6+1.
第二步:一是注意到对ω的约定,在ω>0的思维定式下,确定ω=1,从而导致错误;二是在正弦型函数周期公式的指引下,将T=2πω=π理解到极致,认定ω=2;三是虽然也注意到ω∈R,但不会根据条件“当x=π6时,函数有最小值”确定ω的真正值为-1.
第三步:对于正确的函数f(x)=1-sin⁡2x+π6,先画图,再截取符合题意的图象.
四、逻辑分析时摒弃负迁移思维
“迁移”是一个学习心理学名词,迁移本身有正有负,负迁移是指一类知识对另一类知识不正确的影响.在数学思维中,有时会因为对某种思想和方法的印象很深而不知不觉地影响到“相似”的知识上来.
问题4:如图2,在圆O中,半径OH与弦AB相交于点C,且C是AB的中点,则OC⊥AB;如图3,在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,若弦AB的中点为C,则下列判断正确的是
(1)若kAB,kΥ都存在,则kABk∝C=-1;
(2)若kAB,kOC恰有一个不存在,则kABk∝C=-1;
(3)kABk∝C=-b2a2.

图2 图3
【解析】卡壳点:圆中垂径定理对椭圆中类似性质的影响.
应对策略:依据题设信息,严格逻辑推理.
问题解答:(1)从思维角度来看,学生将圆的思维定式“负迁移”到椭圆之中,认为圆中弦与弦心距所在直线垂直,由两直线垂直得kABkOC=-1;(2)中kAB,kOC恰有一个不存在,心理暗示AB,OC恰有一个与x轴垂直,“垂直”信息“负迁移”到两直线垂直的条件kABkOC=-1上.正确答案为(3).
【反思】在数学解题中,要排除思维定式的干扰,多一点逻辑思考,多一点严谨推理.
五、关注非命题对逻辑推埋影响
判断一个事物“是什么”,或“可能是什么”,或对一个命题的顺向思考,构成人们的常规思维,人们的思维就像平时向前走路一样,不会感觉到它的异样,而一旦遇到“非”语言命题、逆向设计的情境、判断一个事物“不是什么”或“不可能是什么”时,就会像倒着走路一样感觉到不习惯,不知如何求解这样的命题.不论是高考还是其他评价性测试中,常常有“非”语言命题出现,难住了大多数学生,成为测试后议论的焦点,其原因何在呢?
问题5:已知函数f(x)=x3-k2-k+1x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.
【解析】卡壳点:不知道函数“不单调”的等价转化点.
应对策略:面对三次函数,利用导数工具,研究其导函数性质.
问题解答:因为p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1,所以p'(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5).
因为p(x)在区间(0,3)上不单调,所以p'(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根.
由p'(x)=0得k(2x+1)=-3x2-2x+5.
所以k=-3x2-2x+52x+1=-34(2x+1)+92x+1-103.
令t=2x+1,则t∈(1,7),记h(t)=t+9t,
则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h(t)∈[6,10).
于是(2x+1)+92x+1∈[6,10),得k∈(-5,-2].
当k=-2时,p'(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,故舍去.
所以k∈(-5,-2).
【反思】证明一个函数在某一区间单调,用单调定义或导数工具解决,然而如何利用一个函数在某一区间内不单调的性质呢?事实上,可导的单调函数,其一阶导函数的符号是确定的,不是正数就是负数,而不单调函数的一阶导函数的函数值就会正负相间.再进一步思考,由导函数所构成的二次方程,若其原函数是某个区间上的非单调函数,则方程在该区间上的根是存在的,且无重根;若其原函数是单调函数,方程在该区间上的根可以不存在,也可以是重根.
六、关注反证法的规范表述
在高考题中常常针对某一个命题(而不是整个问题)用反证法,常见的是存在性命题或唯一性命题.使用反证法的三个步聚要相当明确:一假设、二矛盾、三结论.
问题6:A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:(1)对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);(2)存在常数L(0