专题10数列不等式证明-解析版

这是一份专题10数列不等式证明-解析版，共21页。试卷主要包含了 数列信息结构识别之技，放缩结构变形思维链接，数列单调性的判断之技， 数列变形中倒裂项之技， 数列主干条件多次变形之技，数列主干条件结构变形之技， 数列无理式的放缩之技等内容，欢迎下载使用。
一、 数列信息结构识别之技
数列不等式问题条件与结论中都有丰富的信息, 比如项与项之间的代数结构、项与前 n 项和的代数结构 等, 这些代数结构特点的识别或转化直接制约着问题的求解.
问题 1: 已知数列 an 满足 a1=12,an+1=an+12, 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和.
( I ) 证明: an=cs⁡π3×2n-1;
(II ) 证明: Sn>n-56.
【解析】卡壳点: 条件代数式结构不能识别, 数学归纳法的证明过程叙述不规范.
应对策略: 条件与结论中信息挖掘要到位, 正确识别递推关系结构,熟练使用余弦倍角关系式.
问题解答: (I) (1) 当 n=1 时, a1=12=cs⁡π3×21-1, 命题成立;
(2)假设当 n=k 时,命题成立, 即 ak=cs⁡π3×2k-1,
则当 n=k+1 时, ak+1=ak+12=cs⁡π3×2k-1+12=cs⁡2×π3×2k+12=2cs2⁡π3×2k-1+12 =cs⁡π3×2k, 所以当 n=k+1 时,命题也成立.
由 (1)(2)知, 对任意 n∈N*,an=cs⁡π3×2n-1.
(II) 当 n=1 时, S1=a1=12>1-56.
当 n⩾2 时, 因为 an=cs⁡π3×2n-1,
所以 1-an 2=1-cs2⁡π3×2n-1=sin2⁡π3×2n-11-2π29×4n-1.
故 Sn>∑i=2n 1-2π29×4i+12=n-12-2π29×43×1161-14n-1
>n-12-291-14n-1>n-56.
【反思】 借助 sin⁡x0,a1=2, 且 (n+1)an+12=nan2+an,n∈N*.
(I) 证明: an>1;
(II) 证明: a224+a239+⋯+an2n21, 推出 an2>an, 从而放大到 (n+1)an+12=nan2+an0,n∈N*, 可知 an+1+1(n+1)>0,nan+n+1>0, 所以 an+1-1 与 an-1 同号.
又 a1-1=1>0, 故 an>1.
(II) 因为 an>1,an2>an,(n+1)an+12=nan2+an