专题2.4 极值计算先判断，单调原则不能撼（原卷及解析版）

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函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．[来源:Z#xx#k.Cm]
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．
【典例指引】
例1．已知函数其中
⑴当时，求曲线处的切线的斜率；
⑵当时，求函数的单调区间与极值.
例2．已知函数的图象在处的切线过点，.
（1）若，求函数的极值点；
（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）
例3．已知函数在处有极值10.
（1）求实数的值；
（2）设，讨论函数在区间上的单调性.
【同步训练】
1．设， .
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
2．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点
（I）求的取值范围；
（II）求证：
3．已知函数．
（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；
（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值．
4．已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
5．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．
（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．
6．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.
7．已知函数（）.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围.
8．已知函数．
（1）若函数在和处取得极值，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时， 恒成立，求的取值范围．
9．已知函数，其中为常数.
（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.
10．已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.