专题12数列的建模与探究-解析版

这是一份专题12数列的建模与探究-解析版，共15页。试卷主要包含了小船通过小桥受阻的突破，垃圾处理中环境保护意识，数列某特性是否存在探究， 数列不等式的多角度探究等内容，欢迎下载使用。
一、小船通过小桥受阻的突破
问题1:在古运河上建有许多形状相同的抛物线形状的拱桥An(n=0,1,2,⋯),经测量知,相邻两座桥之间的距离an近似满足an=800+150n(n=1,2,3,⋯),当水面距拱顶5米时,桥洞水面宽为8米.每年汛期,船夫都要考虑拱桥的通行问题,已知一只宽4米、装有防汗器材的船露出水面部分的高为0.75米.
(I)要使该船能顺利通过拱桥,试问水面距拱顶的高度至少要几米?
(II)已知水面每小时上涨0.15米,船在静水中的速度为0.4米/秒,水流速度为15米/分,若船从A0桥起针顺水航行时,水面开始上涨,试问船将在哪一座桥受阻?
(III)若船通过An-1桥后,通过An桥时可能受阻,你会采取什么措施使该船顺利通过此桥?（船长、桥宽、采取措施所用时间忽略不计)
【解析】卡壳点:阅读理解力弱,难以建立函数与数列模型.
应对策略:整体把握小船航行中的速度与涨水速度之间的关系.
问题解答:(I)取抛物线形状拱桥的拱顶为原点,拱桥的对称轴所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图1.
图1
设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h米时,船不能通过,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),因为A(4,-5)在此抛物线上,所以p=1.6.
当船不能通行时,船宽等于BB1,点B横坐标为2.
问题转化为求抛物线x2=-3.2y上点B的纵坐标y1,然后求h.
将x=2代人方程得y1=-54,所以h=y1+0.75=2,因此水面距拱顶至少2米,船才能顺利通过此桥.
(II)水面由距离拱顶5米上升到2米需(5-2)÷0.15=20(时),
A0桥到An桥的距离Sn=12a1+ann=12(950+800+150n)n=121750n+150n2,
船顺水航行的速度v=1440+900=2340(米/时).
在这段时间内,船航行的路程d=2340×20=46800(米).
由Sn=46800得15n2+175n=4680×2,解得n=19.8.故取n=19,此时43700=S192008,只需12+13+⋯+1n>2007.
将12+13+⋯+1n按照第1组21项,第2组22项,⋯,第n组2n项的方式分组.
由(II)可知,每一组的和不小于12,且只有当n=1时等于12,将这样的分组连续取2×2007组,加上a1,共有24015项,这24015项之和一定大于1+2007=2008,故只需取T=24015,就能使得ST>2008.
(只要取出的T不小于24015,并说出相应理由即可)
(IV)用特殊情形去检验,当n=2时,有1=f(2)1+12-1,解得f(2)=2.
当n=3时,有52=f(3)1+12+13-1,解得f(3)=3.
此时发现这样的f(n)可能存在,猜测f(n)=n(n⩾2).下面用数学归纳法证明.
(1)当n=2,3时,上面已证,猜测正确;
(2)设n=k(k⩾2)时,f(n)=k,即S1+S2+⋯+Sk-1=kSk-1成立,
则S1+S2+⋯+Sk-1+Sk=kSk-1+Sk
=(k+1)Sk-k=(k+1)Sk+1k+1-1=(k+1)Sk+1-1.
即当n=k+1时,猜测也正确.
综上所述,存在f(n)=n,使得S1+S2+⋯+Sn-1=f(n)Sn-1对于大于1的正整数n都成立.
【反思】(1)此问题是《高等数学》级数一章中一个调和级数的数列表示,是一个经典问题.
(2)事实上,对于任何一个数列,只要我们从不同的角度去思考,都会找到一些规律,比如此数列的变式:1,-12,13,⋯,(-1)n+11n,⋯,也具有很好的分析价值,这留给读者去探究或思考.
四、 数列不等式的多角度探究
对某一数学问题的多角度探究与深度思考是一种有效的教学设计方式,学生可以从整体上理解数学思想方法,不论从数学知识角度还是从数学方法广度的角度都能得到有效的收益,使学生不仅知其然而且能知其所以然.
问题4:已知an=3n3n+2,求证:a1+a2+⋯+an>n2n+1.
【解析】卡壳点:对数列通项分析缺少思路.
应对策略:一是用分析法寻找突破口,二是从结构上寻找转化点.
问题解答:解法1(分析通项)
由an>n2n+1-(n-1)2n逆推得3n3n+2>n3-(n-1)2(n+1)n(n+1),
再逆推得3n>2n2+2n-2,再逆推得n⩾3.
因此当n⩾3时,有a1+a2+⋯+an>35+911+324-223+⋯+n2n+1-(n-1)2n=n2n+1-43+35+911=n2n+1+14165>n2n+1.
又当n=1或2时命题显然成立,因此原命题得证.
解法2(等比放缩)
由于an=1-23n+2,而n2n+1=n-nn+1,
因此原不等式等价于23+2+29+2+227+2+⋯+23n+2