一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于( )
A．10 B．210 C．a10－2 D．211－2
2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81B．120
C．168D．192
3．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝( )
A．－32B．－16
C．16D．32
4．在14与之间插入n个数组成一个等比数列，若各项总和为，则此数列的项数为( )
A．4B．5
C．6D．7
5．(多选)数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，若a2＝2，a4＝8，则S10的可能值为( )
A．1 023B．341
C．1 024D．342
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
三、解答题
9．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
10．(多选)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0．则下列结论正确的是( )
A．0C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S7
11．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，则m的值是 ( )
A．6B．7
C．8D．不存在
12．(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺……第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则( )
A．a6＝B．＝8
C．a5＋a6＝D．a1＋a2＋…＋a6＝
13．设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
14．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
15．条件①：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋k(n∈N*，k∈R)，a1＝1．
条件②：对∀n∈N*，有＝q>1(q为常数)，a3＝4，并且a2－1，a3，a4－1成等差数列．
在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．
在数列{an}中，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，求T10的值．
课时分层作业(九)
1．D [∵＝＝2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，且a1＝2．∴S10＝＝211－2．]
2．B [设公比为q，则＝27＝q3，所以q＝3，a1＝＝3，S4＝＝120．]
3．D [因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32．]
4．B [设公比为q，a1＝14，an＋2＝，则Sn＋2＝＝，
解得q＝－．所以an＋2＝14·＝，
解得n＝3．故该数列共5项．]
5．AB [因为数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，
所以数列{an}为等比数列，因为a2＝2，a4＝8，所以q2＝＝4，所以q＝±2，
当q＝2时a1＝1，所以S10＝＝1 023．
当q＝－2时a1＝－1，
所以S10＝＝341．故选AB．]
6．6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6．]
7．2n-1－ [由a4＝a1q3得q＝－2，
∴an＝(－2)n-1，
∴|an|＝2n-2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n-1－．]
8．6 [由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2≥100，则2n+1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n+1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6．]
9．解： (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列，
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*)．
(2)由(1)得，bn＝＝22n＝4n，
∴b1＝4，＝＝4，
∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
∴Tn＝＝＝．
10．ABC [∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0∴0C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确．
D中因为a7>1，011．A [设等比数列{an}的公比为q．因为a1＝1，a5＝4a3，则q2＝＝4，则q＝±2．
当q＝2时，若Sm＝63，则有＝63，解得m＝6；
当q＝－2时，若Sm＝63，则有＝63，整理可得(－2)m＝－188，无整数解，故m＝6．故选A．]
12．BD [依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，则a6＝＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋…＋a6＝．故选BD．]
13．1 121 [由于解得由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n-1，即Sn＝，所以S5＝121．]
14．解： (1)∵an＝Sn＝n2＋n，
∴an＝
当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1，
∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn． ②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn．
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝；
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
15．解： (1)选条件①，由S1＝2＋k＝a1＝1，得k＝－1，
∴Sn＝2n－1．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-1，a1＝1符合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n-1．
选条件②，由＝q知数列{an}是公比为q的等比数列，则a2＝＝，a4＝a3q＝4q，由2a3＝a2－1＋a4－1，得8＝＋4q－2，解得q＝2或q＝(舍去)．
∴a1＝＝1，∴an＝2n-1．
(2)T10＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋10×29，
∴2T10＝2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋9×29＋10×210，两式相减，得－T10＝1＋2＋22＋23＋…＋29－10×210＝－10×210．
∴T10＝9×210＋1．