人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


题型 1指数函数的概念
【问题探究1】 问题1：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个细胞，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后变为4个细胞，第3次分裂后变为8个细胞……设第x次分裂后变为y个细胞．
问题2：质量为1的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的质量约是原来的60%，设经过x年后剩余的质量为y.
(1)以上两个问题中，y关于x的函数解析式分别是什么？
(2)以上两个函数解析式的共同特征是什么？
例1 (1)下列函数中指数函数的个数是( )
①y＝2·3x ②y＝3x＋1 ③y＝3x ④y＝(2a－1)x(a为常数，a>，a≠1) ⑤y＝x3 ⑥y＝ ⑦y＝(－4)x
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1)
C．(，1)，＋∞)
学霸笔记：
指数函数的解析式必须具有三个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；
(2)指数位置是自变量x；
(3)ax的系数是1.
跟踪训练1 (1)下列函数中为指数函数的是( )
A．y＝2·3x B．y＝－3x
C．y＝3－x D．y＝1x
(2)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
题型 2求指数函数的解析式或求值
例2 设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其图象经过点()．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2m)＝4，f(n)＝25，求2m＋n的值．
学霸笔记：(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
跟踪训练2 已知函数f(x)为指数函数，且f(－)＝，则f(－2)＝________．
题型 3指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
【问题探究2】 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
例3 光线通过一块玻璃，强度要损失10%，设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)通过20块这样的玻璃后，光线强度约为多少？(参考数据：0.920≈0.12)
学霸笔记：
关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率．
(2)主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题．
跟踪训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
随堂练习
1.下列是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝2x2－1
C．y＝axD．y＝πx
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )
A．()x B．2x
C．()x D．()x
3．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
4．某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕________．
课堂小结
1.判断一个函数是指数函数的方法．
2．求指数函数解析式．
3．指数函数在实际问题中的应用．
4．2.1 指数函数的概念
问题探究1 提示：(1)问题1中y＝2x；问题2中y＝0.6x.
(2)函数的解析式是幂的形式，底数是常数，未知数x出现在指数位置上．
例1 解析：(1)对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为x＋1，不是x，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为－1，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为－4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.故选B.
(2)依题意得2a－1＞0且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1.
答案：(1)B (2)C
跟踪训练1 解析：(1)根据指数函数的定义知，y＝ax(a>0，a≠1)，可得函数y＝2·3x不是指数函数；函数y＝－3x不是指数函数；函数y＝3－x是指数函数；函数y＝1x不是指数函数．故选C.
(2)因为函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，所以，解得a＝2.
答案：(1)C (2)2
例2 解析：(1)因为f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点()，
所以＝，所以a＝10，所以f(x)＝10x.
(2)因为f(2m)＝4，f(n)＝25，
所以102m＝4，10n＝25，
所以102m·10n＝100，
所以102m＋n＝102，
所以2m＋n＝2.
跟踪训练2 解析：∵函数f(x)为指数函数，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1), 由f(－)＝，
得＝＝＝ ，所以a＝3，即f(x)＝3x，
∴f(－2)＝3－2＝.
答案：
问题探究2 提示：
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝()x(x∈N*)．
例3 解析：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k，
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k，
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k，
……
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk，
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)将x＝20代入函数解析式，∵0.920≈0.12，∴y＝0.920k≈0.12k，即光线强度约为0.12k.
跟踪训练3 解析：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．
根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
答案：19
[随堂练习]
1．解析：根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.
答案：D
2．解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为f(2)＝2，所以a2＝2，解得a＝.所以f(x)＝()x .故选A.
答案：A
3．解析：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以，解得a＝2.故选C.
答案：C
4．解析：根据题意，2018年退耕8万公顷，记为8(万公顷)，以后每年比上一年增加10%，即是上一年的1＋10%＝1.1倍， 2019年退耕(8×1.1)万公顷，2020年退耕(8×1.12)万公顷，……，2023年退耕(8×1.15)万公顷．
答案：8×1.15万公顷
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝()2
x＝3
y＝8＝23
S＝＝()3
…
…
…