高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数导学案及答案

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授课提示：对应学生用书第52页
[教材提炼]
知识点 指数函数的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
函数y＝x2与y＝2x在解析式上，有什么不同？
知识梳理 (1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)解析式的结构特征
①底数：大于0且不等于1的常数．
②指数：自变量x.
③系数：ax前的系数必须是1.
[自主检测]
1．若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3))·ax是指数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A．2
B．－2
C．－2eq \r(2)
D．2eq \r(2)
答案：D
2．下列各函数中，是指数函数的是 ( )
A．y＝(－2)x
B．y＝－3x
C．y＝41－x
D．y＝ex
答案：D
3．已知函数f(x)是指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(5),25)，则f(x)＝________.
答案：5x
授课提示：对应学生用书第53页
探究一 指数函数的概念
[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．
[解析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数．
(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数．
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数．
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数．
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)ax的系数是1.
函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
解析：由指数函数的定义知：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1,a>0且a≠1))，∴a＝2(a＝1舍去)．
答案：C
探究二 指数函数的定义域及值域
[例2] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2eq \f(1,x－4)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|.
[解析] (1)令t＝eq \f(1,x－4)，∵x∈R且x≠4.∴t≠0.
∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)，
故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，
值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)令t＝－|x|，可知x∈R，∴|x|≥0，t≤0.
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t∈[1，＋∞)，
故原函数的定义域为R，值域为[1，＋∞)．
函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M.
函数y＝eq \r(1－2x)的定义域为________，值域为________．
解析：令1－2x≥0，
∴2x≤1.
由图象知，x≤0.
定义域为(－∞，0]．
∵2x＞0，∴1－2x＜1.
∴y＝eq \r(1－2x)的值域为[0,1)．
答案：(－∞，0] [0,1)
授课提示：对应学生用书第53页
一、底数a必须大于0且不等于1的理由
1．若a＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，ax恒等于0，,x≤0，ax无意义.))
2．若a＜0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，当x＝±eq \f(1,2)，±eq \f(1,4)，…时，在实数范围内函数值不存在．
3．若a＝1，则y＝1x＝1是常量，没有研究的必要．为了避免以上情况，所以规定a＞0且a≠1.
[典例] 下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝(－4)x
C．y＝5x＋1 D．y＝52x
[解析] A中虽然是一个幂，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中虽然是一个幂，且自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C中虽然是一个幂，x也出现在指数上，但指数并不是自变量x，故不是指数函数；D中52x＝25x恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数．
[答案] D
二、忽视指数函数的值域致错
[典例] 求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1的值域．
[解析] 令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4).
因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)在(0，＋∞)上是增函数，
所以y＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＝1，
即原函数的值域是(1，＋∞)．
纠错心得 此题换元后，误认为t∈R.忽视eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的值域．
求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)的值域A，再画
y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．
数学抽象
直观想象
2.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.