2024届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则
A．（2，3）B．（0，3）C．（-3，0）D．（0，2）
【答案】A
【解析】分别求得集合，再根据集合交集的运算，即可求解，得到答案.
【详解】由对数的运算，可得，，
根据集合的交集运算，可得，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记对数的运算性质和一元二次不等式的解法，准确求解得到集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.
【详解】由题意，，且期望，故，
由，知，
故.
故选：C
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式可得，判断时函数符号即可排除错误选项，进而得答案.
【详解】由解析式知：，即，排除B、C；
当时，，故恒成立，排除D.
故选：A
4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
【答案】C
【分析】根据所给模型解不等式即得．
【详解】由题意，，，，
故选：C．
5．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数判断单调性的方法、分离参数法、基本不等式运算即可得解.
【详解】解：由题意，函数的定义域为，
∵函数在定义域上单调递增，
∴在上恒成立，
∴，
∵，当且仅当，即时等号成立.
所以，，即实数的取值范围为.
故选：D.
6．已知为定义在上的函数，其图象关于y轴对称，当时，有，且当时，，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】由已知式得出函数的周期性，求出一个周期内函数的解析式，从而得出在整个定义域内的图象，观察图象得出参数范围．
【详解】当时，有，所以，
所以函数在上是周期为2的函数，
从而当时，，有，
又，，
即，又易知为定义在R上的偶函数，
所以可作出函数的图象与直线有5个不同的交点，
所以，解得，
故选：C．
【点睛】方法点睛：函数零点个数与方程的解的个数问题，通常把方程进行变形，化为一个函数图象与一条直线的交点个数，然后利用函数的性质如奇偶性、单调性等作出图象，观察图象可得结论．
7．定义在R上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】新定义函数说明函数的单调性与对称性，从而得出函数的单调性与奇偶性，由此化简不等式，得出满足的不等关系，以为点的坐标，在平面直角坐标系数中表示出点所在区域，结合直线斜率得出的范围，从而得出的范围．
【详解】条件①说明函数是减函数，条件②说明函数的图象关于点对称，
所以题设中函数是减函数，且图象关于点对称，从而是减函数，且关于原点对称，于是是奇函数，
不等式化为，所以，，
或，
由得，又，
在平面直角坐标系中，如图，以为坐标的点在图中阴影部分，其中，，
，，
将看作与原点连线的斜率，所以，所以．
故选：C．
8．已知，，，则（ ）
A． B．C．D．.
【答案】A
【分析】利用的单调性比较的大小关系，利用的单调性证明即可比较出的大小关系.
【详解】令，则，
由得，，由得，，
所以在上为增函数，在为减函数.
因为，所以，即，故.
因为，所以，所以，
所以，所以，而，所以．
故选：A
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据导数的四则运算、复合函数求导等知识求得正确答案.
【详解】A选项，，，A选项正确.
B选项，，，B选项错误.
C选项，，，C选项错误.
D选项，，，D选项正确.
故选：AD
10．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1B．的最小值是4
C．的最大值是2D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】利用均值不等式求出最值判断A，C；变形给定关系式求出最小值判断B；利用“1”的妙用求出最小值判断D作答.
【详解】正数x，y满足，则，当且仅当时取等号，A正确；
，当且仅当时取等号，B错误；
因，则，当且仅当时取等号，C正确；
依题意，，当且仅当，即，时取等号， D正确.
故选：ACD
11．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为1
B．函数在上单调递增
C．，使得
D．若恒成立，则整数的最小值为2
【答案】BCD
【分析】对二次求导即可求得的单调性，从而求得极小值，即可判断选项，由此可知求得的单调性，即可判断选项,令，利用导数求得的单调性，并结合零点存在性定理即可判断选项，令，利用导数并结合选项即可求得，利用恒成立的条件即可求得值.
【详解】选项，，则，令，解得，
故当时，当时，
∴函数的极小值为，故项错误；
选项，由选项分析可知恒成立，故函数在上单调递增，
故B项正确；
选项，记，则，
令，解得，
当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
则在上单调递减，且，，
∴在上存在唯一的，使得，即，
故C项正确；
选项，记，则，
由选项可知，当时，，单调递增，
又∵，∴当时，，单调递减，
∴当时，①，
由选项可知，即，
代入①式可得，，可得，
所以整数的最小值为2，故D项正确.
故选:.
12．中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断.
【详解】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，
其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，
事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，
所以，故A正确；
对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件，
所以，故B错误；
对于C，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以，故C正确；
对于D，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题CD选项的解决关键是利用离散型随机变量分布列的求法，分别求得的分布列，从而得解.
三、填空题
13．设，则是的 条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
【答案】充分不必要
【分析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明．
【详解】，或，
∵，
∴是的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题对应集合是，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件．
14．已知二项式的展开式中常数项为，项系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理写出展开式的通项公式，根据常数项的值求得a的值，进而求得项的系数.
【详解】解：∵二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中常数项为，∴．
再令，可得，可得展开式中项系数为，
故答案为：．
15．已知函数的导函数为，且满足，则 ．
【答案】1
【分析】对已知式求导，然后令代入即得．
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：1．
16．中国古代的四书是指：《大学》《中庸》《论语》《孟子》，甲、乙、丙、丁名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则名同学所有可能的选择有 种.
【答案】
【分析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》《孟子》中各选一书，则甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为种；
（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》《孟子》选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为.
综上所述，名同学所有可能的选择种数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，正确将问题进行分类是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题
17．已知函数在处取得极值1.
(1)求、b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可；
（2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，
则，
因为函数在处取得极值1，
则，解得，，则，
所以，，令，可得，列表如下：
所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又因为，，
因为，
所以，故.
18．在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可；
（2）利用条件概率公式进行求解即可.
【详解】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感，
所以，
因此
；
（2）.
19．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．
参考公式：，其中．
【答案】(1)见解析
(2)填表见解析；有
【分析】（1）由频率和为1可得a值,由直方图中众数、平均数和中位数的计算公式进行计算即可；
（2）由题意得到2×2列联表，然后计算的观测值，然后与题目中表格的数据进行比较即可得到结论.
【详解】（1），解得．
众数估计值为600分．
平均数估计值为（分）
分数分布在450~650分之间时，频率为，
故中位数估计值为650分．
（2）由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人．
因此，得到2×2列联表如下：
因此，的观测值，
所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．
20．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；

(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；
(3)当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
参考公式：，，.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)2.4（百万元）
【分析】（1）根据已知数据作出散点图，由图形从而得出相关性；
（2）根据公式计算出回归方程系数得回归方程；
（3）回归方程中代入计算．
【详解】（1）散点图如下图，由散点图可知，两个变量符合正相关．

（2）设回归直线方程是，
，，
所以
，
；
故利润额对销售额的回归直线方程为．
（3）当销售额为4（千万元）时，利润额为（百万元）．
21．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）含参分类讨论判定单调性即可.
【详解】（1）当时，此时，定义域为，
所以
易知，，
所以切线方程为：，
整理得.
（2）由题意得，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，当时，，则在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
综上，①当时，在上单调递增；
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
22．已知函数．
(1)若对任意的，不等恒成立，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）引入函数，由导数确定在上的最小值不小于0即证；
（2）求出，先分类，，，前面两种情形易得的零点情况，在时，讨论的极小值（最小值）的正负或0，为此又需要分类：，和，在时，，因此需要尽可能地在1的两边各取一个数，使其函数值为正，小的取，易得，大的取，要证明，再引入新函数，利用导数进行证明．
【详解】（1）由题意，函数，对任意的，不等式恒成立，
令，即对任意的，不等式恒成立，且，
当时，，恒成立，
∴，即，故成立，满足题意；
当时，令，解得，所以在单调递减，
当时，，不合题意，舍去，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）因为，则，
①当时，，∴在区间上没有零点．
②当时，在区间上单调递增，
因为，，所以存在，使得成立，
所以在上只有一个零点，
③当时，令，得．
若时，，∴在区间上单调递增，
若时，，∴在区间上单调递减，
所以，
当，即时，，在区间上没有零点，
当时，函数，可得，
令，得，∴在区间上单调递增，
令，得，∴在区间上单调递减，
，所以在区间只有一个零点，
当时，即时，，
因为，所以，
所以，，
存在，使得成立，
因为，
令()，则，
令，则()，
即在区间上是增函数，
所以，可得，所以在为增函数，
因为，所以，
所以时，，
又因为，
所以存在,成立，
即当时，在区间上有两个零点．
综合可得：当时，在区间上没有零点；
当或时，在上只有一个零点；
当时，在区间上有两个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点个数问题，一般是由导数确定函数的单调性，极值，然后由零点存在定理确定零点的存在，难点是函数值的正负的确定有时需要选取适当的自变量，然后对函数值再引入新函数，由导数证明新函数恒为正或恒为负，即为我们通常所说的多次求导．
1
+
0
增
极大值
减
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
属于高分选手
不属于高分选手
合计
男生



女生



合计



商店名称
A
B
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5