2024届河北省石家庄十五中高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届河北省石家庄十五中高三上学期第一次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过推理得到是的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.
【详解】，
故是的真子集，
故，，，，
故A，B，D均错误，C正确.
故选：C.
2．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选:D.
3．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得，即可代入求解.
【详解】因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选:A.
4．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（ ）（参考数据：，）
A．焦耳B．焦耳
C．焦耳D．焦耳
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解,进而可求解.
【详解】由题意可设，则，解得，
所以，所以，
所以当时，焦耳.
故选:D.
5．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立.
当时，恒成立；
当时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故选：C.
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.
【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得，
故a的取值范围是.
故选；B.
7．“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由是奇函数，逐步化简，计算可得，由此即可得到本题答案.
【详解】当时，，由得，则的定义域关于原点对称，
又，则是奇函数，故充分性成立；
若是奇函数，则，即，
所以，则，故，
所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；
所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数得出，构造函数，利用导数证明，从而得出.
【详解】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增
，由图象易知，
令，则
由于函数在上单调递减，，
则在上有唯一解，故在上有唯一解
即当时，，则函数在上单调递减
即，即
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.
二、多选题
9．已知实数a，b，c满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式性质推导可判断AC；利用函数的单调性可判断B；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为，所以，，故A错误；
因为函数在上单调递减，因为，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
10．存在定义在R上的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】记，可验证满足A；取特值验证可排除BC；根据函数定义即可判断D正确.
【详解】对于A，令，则，则，故，唯一确定，故A成立；
对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立；
对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立；
对于D：，，唯一确定，符合函数定义，故D成立.
故选：AD.
11．已知函数，，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．，，D．，，
【答案】AC
【分析】利用导数判断的单调性，可判断AB；构造函数，根据导数判断的单调性，利用单调性可判断CD.
【详解】，即，
当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；
令，则，
因为在上单调递增，又，所以
所以，所以在上单调递增，
所以，，
所以，故C正确，D错误.
故选：AC.
12．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数，则（ ）
A．
B．当时，
C．若对任意，恒成立，则实数的最大值为
D．若在内有根，，…，，则
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性得到方程组求出的解析式，从而推出的解析式，即可画出的图象，再结合图象判断C、D.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，
所以，
解得，则，故A正确；
由得，
当时，，则，
所以，
同理，当时，，
当时，
，故B错误；
以此类推，可得到的图象（部分）如下图所示：

因为时，
当时，，
对任意，恒成立，
令，解得或，
结合图象可知，即实数的最大值为，故C正确；
在内有根，即与在内的交点的横坐标，
由图可知有个交点，不妨设为，
则、关于对称，、关于对称，
所以，，
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．命题“矩形的对角线相等”的否定为 .
【答案】存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“矩形的对角线相等”的否定为
“存在一个矩形，其对角线不相等”（答案不唯一，只要否定正确即可）.
故答案为：存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）.
四、双空题
14．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近，用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在处的切线方程为 ，已知，利用上述“切线近似代替曲线”的思想计算所得的结果为 .（结果用分数表示）
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可求出切线方程，再由题意可得在附近，，则，从而求出结果.
【详解】由，得，所以曲线在点处的切线斜率，所以切线方程为.
由题意知在附近，，所以，
所以，即.
故答案为：，
五、填空题
15．已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由直线与曲线相切，得，然后利用基本不等式，即可求得本题答案.
【详解】设切点为，由得，由题意，
解得，所以，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：
16．若函数的最小值为0，则实数a的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据函数解析式利用换元法可构造函数，再由其单调性可得，再根据函数与方程的思想利用数形结合即可求出实数a的最大值为.
【详解】由题意知，
令，原函数变为.
令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
即对于，，即，当且仅当时取最小值，
所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；
也即函数与函数图象有交点即可；
令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以，
在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：

即即满足题意；
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造函数并利用其单调性，根据函数与方程的思想利用数形结合求参数取值范围是求解此类问题常用的方法，特别要注重函数构造过程中需要的变形技巧.
六、解答题
17．已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C.
(1)若，求，；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一次函数以及二次函数的性质求解值域，即可根据集合的交并补运算求解，
（2）分类讨论求解二次函数的值域，即可根据集合包含关系求解.
【详解】（1）由题意知，故，
由于为单调递增函数，所以.
（1）当时，，，，
所以，.
（2）当时，，
又，故，解得，与相矛盾；
当时，，
又，故，解得，所以；
当时，，又，
故，解得，所以.
综上所述，实数a的取值范围为.
18．求下列函数的值域.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法，令，结合二次函数运算求解；
（2）整理得，利用换元法，令，利用函数单调性运算求解；
（3）整理得，结合二次函数运算求解.
【详解】（1）令，则，，
所以原函数变为，
可知当时，，所以原函数的值域为.
（2）由题意知函数的定义域为，，
令，易知其在上单调递增，所以，
可知，所以原函数的值域为.
（3）由题意知，函数的定义域为，且，
因为，
当时，则，
可得，即，
又因为，可得，即函数的值域为.
19．已知函数，.
(1)判断的奇偶性；
(2)若函数在和处取得极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质结合奇偶性的性质即可求解,
（2）根据极值可得，由导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为，所以图像的对称轴为直线，
所以时，图像的对称轴为y轴，此时为偶函数；
时，，，则，且，
所以为非奇非偶函数.
（2）由题意知，所以，
因为在和处取得极值，
所以.解得，
所以，的定义域为，.
令，得，或；
令，得，
所以在及上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，；
当时，，
要使有3个不同的实数根，当且仅当，
故实数m的取值范围为.
20．已知函数，（a，）.
(1)若，解不等式；
(2)若，，对任意实数x恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据得，进而根据的单调性可得的单调性，进而根据函数的单调性即可求解不等式.
（2）将问题转化为，换元为，所以，根据对勾函数在上单调递增，即可求解最值求解.
【详解】（1）由，得，又，，
所以，所以，
所以，，，
易知当时，由于单调递增，单调递减，所以为单调递增函数，故，所以在上单调递增，
又，且，，
所以，即，
所以，或，
解得，或，或.
故原不等式的解集为.
（2）因为，，所以，，
所以，，即，
所以，
设，则，所以，
因为，易知在上单调递增，所以，
所以，所以，所以，
即k的取值范围为.
21．已知函数，.
(1)若存在极值，求m的取值范围.
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，先求导，再对m进行分类讨论单调性，最后极值的概念求m的范围.
（2）)先讨论当时a的取值范围,再分离参数,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a的取值范围.
【详解】（1），定义域为，
.
当时，恒成立，所以在单调递增，不存在极值.
当，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在存在一个极小值点，无极大值点.
综上所述，m的取值范围为.
（2）由题知原不等式，可化为，
当时，恒成立，
当时，，
由（1）知当时，函数在处有最小值1，
，即，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需.
(2) 若，恒成立，则只需.
(3) 若，恒成立，则只需.
(4) 若，恒成立，则只需.
(5) 若，恒成立，则只需.
(6) 若，恒成立，则只需.
(7) 若，恒成立，则只需.
(8) 若，恒成立，则只需.
22．已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若恰有三个极值点，，（），且，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2).
【分析】（1）求导得，构造函数，分类讨论求解的最小值，结合零点存在性定理即可求解，
（2）构造函数，，利用导数求解单调性，即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
.
令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，
所以.
①当时，，当且仅当，时取等号，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以仅在处取得极值，共一个极值点；
②当时，，
又，，且，
令，则，所以在上单调递减，
所以，
所以，由零点存在定理和的单调性，在和上各有唯一零点，分别设为m，n.
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以在，处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点.
综上所述，当时，有三个极值点，当时，仅有一个极值.
（2）因为恰有三个极值点，，（），
由（1）知，，，
由，两式相除得到.
令，则，，，得，，
又，所以，则.
令，其中，则，
令，则，
所以在上单调递增，则当时，，
即，故在上单调递增，
所以当时，，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.