2024届黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第一次阶段性考试数学试题含答案

2024届黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第一次阶段性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两个集合中的元素，进行交并补的运算并判断包含关系.

【详解】集合，，

，故A选项错误；

，故B选项错误；

，故C选项错误；

 ，故D选项正确．

故选：D.

2．已知对数函数的图象经过点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数的图象过点，可求出的值，代入、、即可比较出三个数的大小关系.

【详解】对数函数的图象经过点，则，

所以，，，，

因此，.

故选：D.

3．若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用特例法判断AB；利用指数函数的单调性判断C；利用幂函数的单调性判断D.

【详解】时，不成立，A不正确；

时，不成立，B不正确；

因为在上递增，所以，若 则，C不正确；

因为在上递增，所以，若 则，D正确.

故选：D.

4．设等差数列的前项和为,若,则 ( )

A．12 B．8 C．20 D．16

【答案】C

【分析】由等差数列的性质得：成等差数列，由此能求出的值．

【详解】解：∵等差数列的前项和为，，

由等差数列的性质得：

成等差数列

又

∴

．

故选C．

【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

5．若“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将问题转化为，恒成立，再参变分离即可求解.

【详解】题设等价于，恒成立，即在恒成立，

所以，且．

又因为在上是增函数，

所以，

所以．

故选：B

6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.

【详解】由题意可得，可得，设，

可得，解得.

因此，污染物消除至最初的还需要小时.

故选：C.

7．已知函数（）的最大值为，函数的最小值为，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：因为函数（）的最大值为，函数（）的最小值为，

若则，故充分性成立；

若，，，显然满足，但是，，不满足，故必要性不成立；

故选：A

8．已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易知，是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，由，得到的图象关于对称，且在 上递减，在上递增，再根据不等式成立，由求解.

【详解】函数，

令，

因为，

所以是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，

所以的图象关于对称，且在 上递减，在上递增，

若使得不等式成立

则，

即，

解得，

所以实数的取值范围是

故选：B

二、多选题

9．若的平均数为3，方差为4，则的（    ）

A．平均数为1 B．方差为1

C．平均数为 D．方差为2

【答案】AB

【分析】利用均值和方差的性质求解新的均值和方差.

【详解】若的平均数为，方差为，

则的平均数为，方差为，

令，，解得，．

故选：AB

10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

【答案】BC

【解析】由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．

【详解】，，

，则不是偶函数，故A错误；

的定义域为，

，

为奇函数，故B正确；

，

又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；

，，则，可得，

即．

，故D错误．

故选：BC．

【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.

11．已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．

C．函数的图象与函数的图象有且仅有个交点

D．当时，

【答案】ACD

【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由已知条件可得，

所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；

对于B选项，，，则，B选项错误；

对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示：

当时，，结合图象可知，.

当时，，即函数与函数在上的图象无交点，

由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；

对于D选项，当时，，则，

所以，，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

12．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”

B．若，则存在区间M使为“弱增函数”

C．若，则为R上的“弱增函数”

D．若在区间上是“弱增函数”，则

【答案】ABD

【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.

【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；

对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；

对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；

对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知狄利克雷函数，则           .

【答案】.

【分析】利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可得出．

【详解】解：因为函数

所以，当时，，

故；

当时，，故；

综上，；

故答案为：

【点睛】本题主要考查对函数概念的理解，正确理解分段函数的意义是解题的关键．

四、双空题

14．已知，，且，则的最小值为      ，此时      ．

【答案】     8     6

【分析】利用基本不等式，可得答案.

【详解】∵，，且，∴，

当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为8，此时．

故答案为：；.

五、填空题

15．已知函数是偶函数，则          ．

【答案】2

【分析】求出f(x)定义域，根据f(x)是偶函数，可取定义域内任意x，根据f(-x)=f(x)即可求得m的值．

【详解】由得的定义域为，

则∵是偶函数，故f(-1)=f(1)，

即，解得m=2．

此时，而，

故确为偶函数，故m=2．

故答案为：2．

16．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.

【详解】由于函数在上的减函数，则，即，

所以，函数在区间上的值域为.

对于函数，内层函数为，外层函数为.

令，得.

由题意可知，函数在区间上的值域包含.

函数的图象开口向上，对称轴为直线.

（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，

此时，函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得，此时，；

（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，

此时，函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得或，此时；

（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，

由题意可得，解得，此时，.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.

六、解答题

17．已知：函数在上单调递增，：关于的方程的两根都不小于1．

(1)当时，是真命题，求的取值范围；

(2)若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由指数函数的单调性求得的范围；

（2）由是真命题求得的一个范围，由是真命题求出的一个范围，根据充分不必要条件的定义得不等关系，从而得出范围．

【详解】（1）因为，所以．

因为是真命题，所以，解得．

故的取值范围是；

（2）若是真命题，则，解得，

关于的方程的两根分别为和，

若是真命题，则，解得，

因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，

所以，即，

故的取值范围是．

18．已知数列满足.

(1)求证：是等差数列；

(2)若，求的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将原递推关系式变形即可证明；

（2）先求得，再用累加法即可求解.

【详解】（1）由题，即，

是公差为4的等差数列.

（2）

，累加可得

，当时也满足上式

.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在上有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性以及时的表达式，即可求出函数的解析式；

（2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得的取值范围是．

【详解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数，

所以可得．

又，

故函数的解析式为

（2）根据题意作出的图象如下图所示：

，，

若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根，

所以函数与有三个不同的交点，

由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点．

故的取值范围是．

20．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；

(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；

（2）随机变量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.

【详解】（1）补充列联表如下：

根据列联表中的数据，

，

所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联．

（2）抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活，

故随机变量的取值可以是，，，

，，，

随机变量的分布列如下：

因此，．

21．已知函数（且）.

(1)判断并证明函数的奇偶性；

(2)若，求函数的值域；

(3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析.

(2).

(3)存在，，.

【分析】（1）求得函数的定义域，由函数的奇偶性的定义可得证；

（2）根据指数函数和对数函数的单调性可得答案；

（3）由的定义域得，分，，讨论函数的单调性，建立不等式组求解即可.

【详解】（1）解：函数是奇函数. 证明如下：

由，解得的定义域为.

因为对任意的，都有，

且，

所以，是奇函数.

（2）解：当时，，.

因为的定义域是，所以，

所以，，

所以，

所以，的值域是.

（3）解：因为函数在上的值域为，又，且，

由的定义域得，所以.

①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，

所以，即，

因为，所以，所以无解.

（或者因为，所以，所以无解），

故此时不存在实数a，b满足题意.

②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，

所以，即，

解得或（舍），.综上，存在实数，.

22．设数列的前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，可求的值，当时，与两式相减即可得两边同时乘以，得，令，可得是等差数列，求出的通项即可求的通项；

（2）由（1）知，利用乘公比错位相减求和求出，当，时单独讨论，当时，化为，即.令（，），则，计算判断的单调性求出的最小值，即可求得实数的取值范围．

【详解】（1）由已知，，

当时，，解得.

当时，．

两式相减，得．

两边同时乘以，得，

令，则，

所以数列是公差为1的等差数列，其首项为

所以，即，

所以.

（2）由（1）知，，所以．

则，①

，②

①-②，得，

即，

，则.

由已知，对任意的正整数，恒有．

当时，化为，得.

当时，化为，

此时，为任意实数不等式都成立．

当时，化为，

即.

令（，），

则，

所以

．

当时，，则，

所以（，）单调递增，

所以的最小值为，则.

综上可知，，即的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当时求得，当时，与已知条件两式相减得，这种类型需要两边同时乘以得，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出可得，此时不是恒大于，当，时单独讨论，当时，分离化为，即，再构造（，），利用作差法判断单调性求最小值即可.