2024届黑龙江省实验中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省实验中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式确定集合，解对数不等式确定集合，然后由并集定义计算．
【详解】由题意或，，
∴或，
故选：C．
2．函数的零点所在的一个区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数单调性，以及零点存在性定理，直接计算，即可得出结果.
【详解】在上是增函数，
，，，
，根据零点存在性定理，
可得函数的零点所在区间为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查判定函数零点所在区间，熟记零点存在性定理即可，属于常考题型.
3．已知角α的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义求解.
【详解】由题意可知点到原点的距离，
由任意角的三角函数的定义，，
所以.
故选：D
4．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.
【详解】因为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故D错误；
因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
故选：C.
5．已知为锐角，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简可得，由同角三角函数的平方关系求出，再由两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为因为为锐角，所以，
所以.
故选：A.
6．等差数列的前n项和为则的最大值为（ ）
A．60B．45C．30D．15
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，结合求和公式即可得出答案.
【详解】因为
则，
则，则，
令，解得：，
因为是等差数列，
所以当时，，，当时，，
所以的最大值为.
故选：B.
7．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．30B．60C．D．
【答案】D
【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合锐角三角函数的定义，求得，，得解．
【详解】由题意知，，，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，米，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．
故选：D．
8．已知函数，且，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，判定函数的奇偶性与单调性，将不等式进行转化，即可求解a的范围.
【详解】令，定义域为R，
，
所以为奇函数，
又.
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在R上单调递增，
所以，可转化为，
，
所以，
所以，即，
解得
即实数a的取值范围是.
故选：C.
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．的递减区间是
【答案】AC
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于D，根据对数函数的定义域即可判断..
【详解】对于A，函数的定义域为，
由得，
则函数的定义域为，A正确；
对于B，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，
函数取得最小值，无最大值，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，
再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，C正确，
定义域，D错误.
故选：AC
10．已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象C关于中心对称
C．函数在区间内是增函数
D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到
【答案】CD
【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.
【详解】.
A：函数的最大值为，因此本选项不正确；
B：因为，所以图象C不关于中心对称，因此本选项不正确；
C：当时，，所以函数在区间内是增函数，因此本选项正确；
D：函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本选项正确，
故选：CD
11．已知向量，且则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是45°
D．向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】AC
【分析】由垂直向量的坐标表示可判断A；由向量的模长公式可判断B；由向量的夹角公式可判断C；由投影向量坐标公式可判断D.
【详解】因为，所以，
则，解得：，所以，故A正确；
，所以，故B错误；
，
又因为，故向量与向量的夹角是45°，故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标是：，故D错误.
故选：AC.
12．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下面结论正确的有（ ）
A．若则
B．
C．若，则有最小值4
D．若，则的最小值为
【答案】AC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】因为，，
若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
若， ，当且仅当时取等号，C正确；
若，则，解得，
所以，当且仅当时等号成立，但是，故D错误．
故选：AC
三、填空题
13．已知为虚数单位，复数z满足，则 .
【答案】/
【分析】利用复数的运算、共轭复数运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵，
∴，
∴.
故答案为：.
14．在等比数列中，如果，那么 .
【答案】
【分析】根据等比数列的性质可知，，成等比数列，进而根据和的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得的值.
【详解】利用等比数列的性质有，成等比数列，
又，则，
故.
故答案为：.
15．已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 .
【答案】2
【分析】根据已知得出函数的周期为8，根据周期性以及对称性，依次得出，，.然后求出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以.
又是定义在R上的奇函数，
所以，
所以，所以，
所以，，
所以，的周期为8.
所以，.
令，代入可得，.
令代入可得，.
又，所以，，
所以，.
故答案为：2.
16．如图，在矩形中，，，，分别是和的中点，若是矩形内一点（含边界），满足，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】，设，，则，，三点共线，即点在直线上，且位于矩形内部（含端点），设的中点为，则，只需求的最小值即可.
【详解】由，得，
所以.
取，，则，，三点共线，
即点在直线上，且位于矩形内部（含端点），如图.
设的中点为，则.
因为，，，分别是和的中点，
所以，当时，最小，且最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的最小值问题，涉及到向量共线定理的结论，考查学生的等价转化与数形结合的思想，是一道较难的题.
四、解答题
17．设数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前10项和.
【答案】(1)；
(2)1068.
【分析】（1）利用等差中列的性质及等比数列的基本量的运算可得通项公式；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）由已知得，解得，
设数列的公比为，则，
即，又，
所以，从而，
故数列的通项公式为；
（2）由题可知，，
所以
，
所以.
18．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，将等式化简即可得到，进而求得角的值；
（2）由（1）及余弦定理，结合重要不等式可求出的最大值，即可求出面积的最大值．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，则，
即，可得，
因为，所以.
（2）因为，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最大值为.
19．已知向量，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，且，，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.
【详解】（1）依题意，，
由得：，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由（1）知，，即，而，
则，于是，解得，
由余弦定理有，即，
解得，
所以的周长为.
20．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
(1)求函数的表达式；
(2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；
（2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可.
【详解】（1）由题意得 ，所以，
因为对于任意，都有，即恒成立，
故，解得，.
所以；
（2）由≥得
当时，不等式恒成立；
当时，，
令，则，
即，
当且仅当时，即时，实数取得最大值.
21．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若函数的零点为，求；
(3)若对任意，有解，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是得出，然后通过图像的平移即可得出，最后根据函数为奇函数即可求出的值；
(2)本题首先可通过题意得出，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；
(3)本题可令，然后根据得出，最后通过求出的取值范围即可得出的取值范围.
【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是，
所以，，，解得，，
将的图像向右移个单位，可得函数，
因为函数为奇函数，所以，，
因为，所以，，
(2)因为函数的零点为，
所以，，
因为，
所以，
(3)令，有解即有解，
因为，所以，，
因为，所以当时，，
因为有解，所以的取值范围为.
【点睛】本题考查三角函数的对称性、奇函数的相关性质、三角函数的诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数定义域包括时，有，考查公式，考查推理能力，是中档题.
22．已知函数.
(1)当时，求函数在上的单调递增区间；
(2)当，若，恒有成立，求的最小值.
【答案】(1)函数在上的单调递增区间为和；
(2)的最小值为.
【分析】（1）求函数的导函数，解不等式可求函数的单调递增区间；
（2）设，，根据条件求出的范围后，根据，可得的最小值.
【详解】（1）由已知，
所以，
令，可得，
所以，又，
所以或，
所以函数在上的单调递增区间为和；
（2）设，，
则.
设，又，
则，当且仅当且时取等号，
∴单调递增，即在上单调递增，
∴.
当时，，在上单调递增，
∴，不符合题意；
当时，，在上单调递减，
，符合题意；
当时，由于为一个单调递增的函数，
而，，
由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
因此只需，∴，
∴，从而，
综上，的取值范围为，
因此.
设，则，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
从而，
∴的最小值为.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.