2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由诱导公式计算即可.
【详解】由题意.
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合正切函数的知识来判断充分、必要条件.
【详解】，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：A
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的关系求解可得，即可.
【详解】因为，故，即，即，
因为，故，.
故.
故选：C
5．函数在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【分析】根据以及二分法，确定至少需要的二等分的次数.
【详解】区间的长度为，第次二等分，区间长度变为；
第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为；第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为.
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间至少二等分次.
故选：C
6．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先由诱导公式可得，，再由三角函数的定义可求解答案.
【详解】，
，
即，所以，
则.
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式和三角函数的定义,属于基础题.
7．已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间恰有两条对称轴，
所以，解得.
故选：B
8．函数， ，若有两个不等实根，则m范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把有两个不等实根转化为直线与两端函数各有一个交点，进而即可求解．
【详解】由函数，则 ，
若有两个不等实根，则函数与的图象有两个交点，
当时，单调递增，且，
此时函数与的图象至多有一个交点，
当时，单调递增，且，
此时函数与的图象至多有一个交点，
所以要使函数与的图象有两个交点，则直线与两端函数各有一个交点，
所以，解得，
所以取值范围是．
故选：C．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.
【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
10．已知，且 ，则( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】结合同角三角函数基本关系运算即可得到.
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，
所以，，
故为第二象限角，
则，
，
则，故D正确,C错误；
又，
即有，，
又，故，故A正确.
故选：ABD.
11．已知函数 则下列结论正确的是( )
A．函数的值域为B．函数为增函数
C．函数的图象关于点对称D．函数有且只有2个零点
【答案】ACD
【分析】通过解析式求出函数的值域判断A；定义法求函数单调性判断B；由判断C；数形结合示函数零点个数判断D．
【详解】由，得，则，所以，故A正确；
函数定义域为R，当时，，则，即，
所以函数为减函数，故B错误；
，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
函数为减函数，值域为且，作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知，函数和的图象有且只有2个交点，
所以函数有且只有2个零点，故D正确；
故选：ACD
12．已知函数，若方程有四个不等的实根,且 则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．取值范围为
【答案】AB
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.
【详解】如图，由图像可知，当时，易得单调递减，且，
当时易得单调递增，且，
当时，由正弦函数的图像可知：在上单调递减，在上单调递增，
且，，
选项A：因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，所以，故A正确；
选项B：结合图像可得，所以，故B正确；
选项C：由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，故C错误；
选项D：当时，令，得，所以，
又由图像可知同增减，所以，故D错误.
故选：AB．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法:
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题
13．在内，使成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集
【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示，
则使成立的x的取值范围是，
故答案为：
14．若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度.
【答案】2
【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式及基本不等式求出结果．
【详解】设扇形半径为，弧长为，由扇形的周长为60cm ，所以，
故扇形的面积，
当且仅当时，等号成立，
故圆心角的弧度数为．
故答案为：2．
15．函数的最大值为
【答案】
【分析】对函数进行求导，判断函数的单调性，进而可以求出函数的最大值.
【详解】，所以函数是上的增函数，故当时，函数是单调增函数，故当时，函数有最大值，最大值为.
【点睛】本题考查了闭区间上函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性是解题的关键.
16．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数的取值范围为
故答案为
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
四、计算题
17．已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
五、解答题
18．已知函数同时满足下列两个条件中的两个：
①函数的最大值为2；②函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两个条件得到，，得到函数解析式；
（2）令，结合，得到或，求出答案.
【详解】（1）因为，函数的最大值为2，
所以，
又函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，，
所以，解得，
故；
（2）由（1）可知，，即，
因为，所以，
故或，
解得或，
则方程在区间上所有解的和为.
19．已知的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值.
【答案】(1)
(2)单调递增区间，
(3)2
【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；
（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；
（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.
【详解】（1）由，可得.
（2）由（1）知：，
令，，则，，
所以的单调递增区间，.
（3）由题设，，故，
所以，故最大值为2.
20．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于的方程在恰有4个不同的解,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法，将原函数转化为关于的二次函数，从而得解；
（2）结合（1）中结论，解关于的一元二次不等式即可；
（3）利用正弦函数的性质分析的交点情况，进而结合图形分析与的交点情况，从而得解.
【详解】（1）设，
则函数，
因为开口向上，对称轴为，
又当时，，
当时，，
所以，即函数的值域为.
（2）由（1）知，可化为，
解得或（舍去），解得，
所以的解集为.
（3）对于，，
由正弦函数的性质可知，当或时，与的图象有两个交点，
当时，与的图象有三个交点，
当时，与的图象只有一个交点，
对于，由（1）可知其可转化为，
结合（1）中的信息作出与的大致图象，
要使得在恰有4个不同的解，
结合图象可知，当且时，对应的交点横坐标满足，
此时与的图象恰有四个交点，即满足题意；
当时，对应的交点横坐标为，显然不满足题意；
当时，对应的交点横坐标满足，
此时与的图象只有三个交点，不满足题意；
当时，对应的交点横坐标为，显然不满足题意；
综上，.
六、作图题
21．1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意
(2)，模型与数据吻合
(3)
【分析】（1）根据已知作出散点图，根据散点图结合所给函数模型图像性质得出答案；
（2）将三点代入所选函数模型，求出参数，在根据后两点验证即可；
（3）根据（2）求出的函数模型，令，即可求出.
【详解】（1）散点图如图所示：

根据散点图可知，模型②符合题意；
（2）将，，分别代入，
得，解得，，
所以
当时，，误差，吻合，
当时，，误差，吻合，
所以，模型与数据吻合；
（3）当时，，
即谷神星距太阳的距离为.
七、解答题
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.
（2）由题设可得，有且仅有一个实数根，讨论、，结合指数函数、二次函数的性质求参数范围.
【详解】（1）由题设，，即，
∴，可得，则.
（2）由题设，，则，
∴，且，整理得，
令，则有且仅有一个零点，，，
当时，， 此时，且开口向上，
∴在上有且仅有一个零点；
当时，，此时，且开口向下且对称轴，
∴，即时，仅当，可得符合条件；
，即时，在上无零点.
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意，讨论、对应定义域区间不同，另外结合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.
行星编号
1
（金星）
2
（地球）
3
（火星）
4
（ ）
5
（木星）
6
（土星）
离太阳的距离