高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.4 对数函数精品学案及答案

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知识点01：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】判断正误
（1）对数函数的定义域为R．( )
（2）与都不是对数函数．( )
（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
【答案】错误正确正确
【详解】（1）对数函数（且）中，自变量，故该结论错误．
（2）定义域为，与对数函数（且）的定义域不同，不符合对数函数的定义；中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确．
（3）对数函数（且）中，自变量，所以对数函数的图象一定在y轴右侧，故该结论正确．
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点02：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）函数的图象恒过定点（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】当时，即函数图象恒过.
故选：A
题型01判断函数是否为对数函数
【典例1】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有（）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数为对数函数，则（）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为对数函数的是（）
A．（，且） B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（）
A．B．C．D．
题型02求对数函数解析式
【典例1】（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 .
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知函数（且）的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式.
【变式1】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点，则．
【变式2】（2023春·陕西西安·高一校考开学考试）已知函数（且），且函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求实数m的取值范围．
题型03对数（对数型复合函数）函数定义域
【典例1】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）函数的定义域是（）．
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知x满足式子，求x.
【变式1】（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数，则的定义域为．
【变式2】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）函数的定义域为 .
题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【典例2】（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）若函数的值域为，则函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数的图像是（）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数与的大致图像是（）
A．B．C．
D．
【变式3】（2023秋·广东深圳·高一统考期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（）
A．B．C．
D．
题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域
【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数，则的值域为（）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数的值域是．
【典例3】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知，．
（1）设，，求的最大值与最小值；
（2）求的值域．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝的最大值为 .
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数过点．
(1)求解析式；
(2)若，求的值域．
【变式3】（2023·全国·高一假期作业）设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数
【典例1】（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是．
【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·云南昆明·高一统考期末）已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 .
【变式3】（2023·全国·高三对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为；若函数的值域为，则a的取值范围为 .
题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性
【典例1】（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知函数，则（）
A．是奇函数，且在是增函数B．是偶函数，且在是增函数
C．是奇函数，且在是减函数D．是偶函数，且在是减函数
【典例2】（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）函数的单调增区间为 .
【变式1】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）函数的单调递增区间为（）
A．B．
C．和D．和
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的单调增区间为 .
题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数
【典例1】（2023·高一课时练习）已知是，上的减函数，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（）．
A．B．
C．D．
【典例3】（2023·全国·高一假期作业）若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·高一课时练习）已知在上单调递减，则的取值范围是．
【变式2】（2023·全国·高三对口高考）若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是 .
题型09比较大小问题
【典例1】（2023春·山东德州·高二统考期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试），，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
【典例3】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知，则（）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知，，，则（）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·天津滨海新·高二统考期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【变式3】（2023春·山东聊城·高二统考期末）设，，，则、、的大小顺序为（）
A．B．C．D．
题型10对数函数综合问题
【典例1】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）已知函数（，且）的图象过定点.
(1)求的坐标；
(2)若在上的图象始终在直线的下方，求的取值范围.
【典例2】（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知函数是奇函数．
(1)求的值．
(2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围．
【典例3】（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数（且）在上的
最大值为.(1)求的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知函数，且.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若，求函数在区间上的最大值
【变式2】（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求在上的值域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【变式3】（2023春·高一校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最小值为，求的值.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）函数（且）的图象恒过定点（）
A．B．C．D．
2．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，，，则，，大小关系为（）
A．B．C．D．
3．（2023春·山东德州·高二统考期末）“”是“为奇函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·全国·高一假期作业）函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
5．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数，则（）
A．图象关于直线对称B．的最大值为
C．在上单调递减D．的最小值为
10．（2023秋·高一单元测试）已知是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（）
A．4B．C．D．8
三、填空题
11．（2023春·山东烟台·高二统考期末）写出一个同时具有下列性质的函数．
①；②为增函数．
12．（2023春·安徽合肥·高一校联考期末）函数的最小值为．
四、解答题
13．（2023春·云南楚雄·高一统考期末）已知函数且在区间上的最大值是2.
(1)求的值；
(2)若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数（且）在上的最大值为3.
(1)求的值；
(2)假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.
B能力提升
1．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
3．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 .
C综合素养
1．（2023春·山东滨州·高二统考期末）已知函数，其中．
(1)当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023春·浙江湖州·高一统考期末）已知函数的图象过点，且对，恒成立.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.（其中是自然对数的底数）
课程标准
学习目标
①理解对数函数的概念及条件，掌握对
数函数的图象与性质。
②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
底数
图象
性质
定义域
值域
单调性
增函数
减函数