四川省泸州市龙马潭区天立春雨学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份四川省泸州市龙马潭区天立春雨学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了2023的相反数是，下列运算正确的是，如果，那么k的值为等内容，欢迎下载使用。
1．2023的相反数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．±2023
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位（ ）
A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×1011
3．下列运算正确的是（ ）
A．a10÷a2＝a5B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
5．线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），现在将它平移，得到线段A1B1，若A1（4，7），则B1的坐标为（ ）
A．（2，9）B．（1，4）C．（5，3）D．（﹣9，﹣7）
6．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，则可列出方程（ ）
A．x（x﹣6）＝864B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864D．x（x+12）＝864
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，垂足分别为E，F．连接EF（ ）
A．3B．2.4C．4D．2.5
8．如图是三个反​比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k3＜k1＜k2D．k3＜k2＜k1
9．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1B．C．2或﹣1D．或﹣1
10．如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，BC于点M，N，再分别以点M，大于MN的长为半径画弧，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．1
二.填空题（共4小题）
13．分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
14．如果有意义，那么字母x的取值范围是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ．
16．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，的值是 ．
三.解答题（共9小题）
17．计算：．
18．﹣÷．
19．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
20．下表是某校八年级（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x，y的值；
（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为a，求a，b的值．
21．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”页将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，B两种型号直播设备．已知A型设备价格高B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买使用．
22．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围；
（2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根；
（3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值．
23．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，求树高．
24．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）（2，b）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）根据图象，当时x的取值范围为： ；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时 ．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点BD，连接GE．当GE＝GD时；
（2）如图2，连接BE，EC，连接CF，与BE交于点P．当BE平分∠ABC时；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，且AE＝2．求△MD'H的面积．
2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区天立春雨学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．2023的相反数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．±2023
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两数之和为0和只有符号不同的两个数是相反数进行判断即可．
解：2023的相反数是﹣2023；
故选：B．
【点评】本题考查相反数．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键．
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位（ ）
A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×1011
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a10÷a2＝a5B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及乘法公式计算得出答案．
解：A、a10÷a2＝a8，故此选项错误；
B、a4•a3＝a5，故此选项错误；
C、（a+b）5＝a2+2ab+b4，故此选项错误；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
4．将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】C
【分析】由直线a∥b∥c，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠B的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠4的度数，结合对顶角相等即可得出∠2的度数．
解：如图，
∵直线a∥b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°．
∴∠6＝∠3﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，利用平行线的性质及三角形外角的性质，求出∠4的度数是解题的关键．
5．线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），现在将它平移，得到线段A1B1，若A1（4，7），则B1的坐标为（ ）
A．（2，9）B．（1，4）C．（5，3）D．（﹣9，﹣7）
【答案】B
【分析】根据点A到A1确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B1的坐标．
解：∵A（﹣1，4）平移后得到对应点为A5（4，7），
∴向右平移了5个单位，向上平移了3个单位，
∴B（﹣4，5）的对应点坐标为（﹣4+5，即（8．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
6．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，则可列出方程（ ）
A．x（x﹣6）＝864B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864D．x（x+12）＝864
【答案】D
【分析】依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，设宽为x步，则长为（x+12）步，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
解：依据它的宽比长少12步．也就是长比宽多12步，则长为（x+12）步，
由题意得，x（x+12）＝864，
故选：D．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．点D是AB边上的动点，过点D作边AC，垂足分别为E，F．连接EF（ ）
A．3B．2.4C．4D．2.5
【答案】B
【分析】连接CD，由勾股定理求出AB＝5，再证明四边形CEDF是矩形，得到CD＝EF，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD最小，则线段EF的值最小，进而由三角形的面积求出CD的长即可．
解：如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠ACB＝∠DFC＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，则线段EF的值最小，
此时S△ABC＝BC•AC＝，即×6×3＝，
∴CD＝2.4，
∴EF的最小值为4.4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
8．如图是三个反​比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k3＜k1＜k2D．k3＜k2＜k1
【答案】D
【分析】取x＝1分别代入三个函数中，可得y1，y2，y3的关系，即可求解．
解：当x＝1时，
y1＝k5，y2＝k2，y8＝k3，
从图中可得
y1＞y3＞y3，
∴k1＞k4＞k3，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象和性质，解题的关键是利用图象解决问题．
9．如果，那么k的值为（ ）
A．﹣1B．C．2或﹣1D．或﹣1
【答案】D
【分析】分两种情况讨论．①a+b+c≠0，利用比例性质得出；②a+b+c＝0，利用分式的性质得出．
解：当a+b+c≠0时，根据比例性质得到：＝＝；
当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c＝＝﹣5．
因而k的值是或﹣8．
故选：D．
【点评】利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于0．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
【答案】D
【分析】在△ABC中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD．
解：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
甲同学正确；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD≌△DCE，
∴BD＝CE，
乙同学正确；
当DE⊥AC时，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
D为BC的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相应的判定和性质是解题关键．
11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，BC于点M，N，再分别以点M，大于MN的长为半径画弧，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝36°，从而可得∠A＝∠ABD＝36°，进而可得DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得BD＝BC，进而可得AD＝BD＝BC，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形，
∴△ABC是黄金三角形，
∴＝，
∵AC＝AB＝8，
∴BC＝﹣1，
∴AD＝BC＝﹣1，
∴CD＝AC﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图﹣复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，则MN的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝6，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴，
∵BC＝8，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝8﹣b，
∴，
解得b＝，
即CN＝，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴，
∴，
解得BM＝，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二.填空题（共4小题）
13．分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．
解：2x2﹣3x+2，
＝2（x7﹣2x+1），
＝7（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
14．如果有意义，那么字母x的取值范围是 x≥﹣5且x≠1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得，x+5≥0，
解得，x≥﹣5且x≠1，
故答案为：x≥﹣5且x≠8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，过点B作BA⊥x轴于点A，反比例函数，连接EF，若F为OB的中点，则k的值为 ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义，利用面积比等于相似比的平方，设S△OFM＝S△OEA＝S，可得S+S＝10，求出k值即可．
解：作FM⊥x轴于点M，连接OE，
∵BA⊥x轴于点A，
∴AB∥FM，
∴△OFM∽△OAB，
∵F为OB的中点，
∴＝，
设S△OFM＝S，根据反比例函数k值的几何意义，
∴S△OAB＝2S，
∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE＝4S﹣S＝3S，
∴S△OFE＝S，
∴S+S＝10，
解得S＝4．
∴‖k‖＝2S＝6，
∵反比例函数在第二象限，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k．
16．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，的值是 ．
【答案】．
【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出的值即可．
解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
三.解答题（共9小题）
17．计算：．
【答案】5+．
【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义化简运算即可．
解：原式＝3+6+2﹣2
＝5+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18．﹣÷．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方差公式和完全平方公式先把分式进行因式分解，再把除法转化成乘法，再进行通分，最后约分即可得出答案．
解：﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，用到的知识点是通分、因式分解和约分，把分式化到最简是解答的关键．
19．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，根据CF＝BE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理ASA证明即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
20．下表是某校八年级（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x，y的值；
（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为a，求a，b的值．
【答案】（1）5，7；（2）90分，80分．
【分析】（1）平均数的计算方法是各个数据之和除以数据的个数，结合已知此组数据的平均数可以表示出来，再结合总人数为20即可得到关于x、y的方程组，求解即可；
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数字，中位数则是这组数据中中间的数据或中间两个数据的平均数，据此进行解答即可．
解：（1）根据题意得
，
解得．
（2）根据众数的定义可得a为90分，
由表中数据可知，从小到大第10个数是80，
所以中位数b＝（80+80）÷2＝80（分）．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及中位数和众数的定义，学生要学会运用方程的思想解决问题．
21．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”页将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，B两种型号直播设备．已知A型设备价格高B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元；
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买使用．
【答案】（1）A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）w与a的函数关系式为w＝40a+12000，最少购买费用为12800元．
【分析】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1.2x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
解：（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为1.2x元，
根据题意，得：，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解且符合题意，
此时6.2x＝1.4×200＝240，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）根据题意，得，
解得a≥20，
由愿意得：w＝240a+200（60﹣a）＝40a+12000，
∵40＞3，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝20时，w最小，
w最小＝40×20+12000＝12800（元）．
答：w与a的函数关系式为w＝40a+12000，最少购买费用为12800元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键，难点是根据一次函数增减性判断最小值．
22．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围；
（2）如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根；
（3）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值．
【答案】（1）k＜9；
（2）k＝8，方程的另一个根为4；
（3）﹣11．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后解不等式；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝6，2t＝k，然后解方程组即可；
（3）根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝k，再由++3x1•x2＝25得到（x1+x2）2+x1x2＝25，所以62+k＝25，然后解一次方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣2k＞0，
解得k＜9，
即k的取值范围为k＜5；
（2）设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝6，8t＝k，
解得t＝4，k＝8，
即k的值为4，方程的另一个根为4；
（3）根据根与系数的关系得x1+x7＝6，x1x7＝k，
∵++3x6•x2＝25，
∴（x1+x8）2+x1x8＝25，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11，
即k的值为﹣11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根与系数的关系．
23．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，求树高．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝0.4m，EF＝7.2m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.8+4＝5.6（米）．
答：树高为5.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
24．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）（2，b）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）根据图象，当时x的取值范围为： 0＜x＜1或x＞2 ；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时 ）或（﹣1，﹣2） ．
【答案】（1）；
（2）0＜x＜1或x＞2；
（3）（8，0）或（﹣2，0）；
（4）或（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）先把点A（1，a）代入y＝﹣x+3中求出a得到A（1，2），然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式；
（2）根据图象得出取值范围即可；
（3）连接OA，OB，设直线AB与x轴交于点C，由，又，得，设P（t，0），则OC＝|t﹣3|，所以，求解即可．
（4）分三种情况：当▱APQB时，当▱APBQ时，当▱AQPB时，分别求解即可．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，
∴A（2，2），
把A（1，7）代入反比例函数，
∴k＝1×5＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）把B（6，b）代入，
∴B（2，3）
由（1）知A（1，2），8），
根据图象可知，当时，0＜x＜7或x＞2，
∴当时，x的取值范围为3＜x＜1或x＞2；
（3）解：连接OA，OB，如图，
∵，
又∵，
∴
设P（t，4），
∴
解得：t＝8或t＝﹣2，
∴P（2，0）或（﹣2．
（4）解：设，
当▱APQB时，如图，
∵▱APQB，
∴AP∥QB，PQ＝AB，
∵A（1，7），1），
∴，
∴PQ2＝x5+1，AB2＝（4﹣2）2+（3﹣1）2＝5，
∴x2+1＝8，
 解得：x1＝1，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴P（1，6），不是平行四边形；
当▱APBQ时，连接PQ交AB于D，
∵▱APBQ
∴点D是AB与PQ的中点，
∴
解得：x＝6，
∴，
当▱AQPB时，过Q作QN⊥y于N，过点A作AS⊥BD于S，
∵▱AQPB
∴PQ＝AB，PQ∥AB
∴∠QPN＝∠BMD
∵BD⊥y
∴∠BMD+∠ABS＝90°，
∵QN⊥y
∴∠PNQ＝90°
∴∠PQN+∠QPN＝90°
∴∠PQN＝∠ABS
∵∠PNQ＝∠ASB＝90°
∴△PQN≌△ABS
∴PN＝AS＝2﹣1＝4
∴PQ2＝x2+5，
∵AB2＝2
∴x2+1＝2
解得：x3＝﹣1，x2＝6（不符合题意，舍去）
∴Q（﹣1，﹣2）
综上，当以A、B、P，Q点的坐标为，﹣6）．
【点评】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点BD，连接GE．当GE＝GD时；
（2）如图2，连接BE，EC，连接CF，与BE交于点P．当BE平分∠ABC时；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，且AE＝2．求△MD'H的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）过点G作GF⊥AD于点F．求出DF，再利用等腰三角形是三线合一的性质求解；
（2）证明Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．推出AE＝DC＝6，推出AF＝DE＝10﹣6＝4，推出FB＝AB﹣AF＝2，过点P作PM⊥BC于点M，设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x由△PMC∽△FBC得＝，构建方程求出x，可得结论；
（3）设HD＝HD'＝x，在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC2，可得22+x2＝（6﹣x）2解得 x＝，再证明∠1＝∠3，∠2＝∠4，可得tan∠1＝tan∠3＝3，tan∠2＝tan∠4＝，过点H作KH⊥MD’于点K，设MK＝m，KH＝3m，KD'＝4m，得D’H＝5m，由HD'＝5m＝得m＝，可得结论．
解：（1）过点G作GF⊥AD于点F．
∵GD＝BD，
∴＝，
∵FG∥AB，
∴＝＝，
∴DF＝，
∵GD＝GE，
∴DE＝2DF＝，即AE＝10﹣；
（2）如图4中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴AB＝AE，
又矩形ABCD中，DC＝AB，
∴AE＝DC，
∵EF⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠4+∠2＝90°，
∴∠1＝∠8，
∴Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．
∴AE＝DC＝6，
∴AF＝DE＝10﹣6＝6，
∴FB＝AB﹣AF＝2，
过点P作PM⊥BC于点M，
∵∠PBM＝45°，△PMB是等腰直角三角形，
设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x
由△PMC∽△FBC得＝，即＝，得x＝，
在等腰Rt△PMB中，PB＝，
又EB＝＝＝＝6，
∴PE＝BE﹣BP＝．
（3）如图7中，
∵AE＝2，AD＝10，
∴DE＝8，
又DC＝2，
∴EC＝＝＝＝10，
由翻折得△EDH≌△ED'H，
∴HD'＝HD，ED'＝ED＝＝8，
∴D'C＝10﹣8＝8，
设HD＝HD'＝x，
在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC4，
∴22+x5＝（6﹣x）2，
解得 x＝，
∴HD＝HD'＝，
在Rt△EDH中，tan∠3＝＝，
在Rt△HD'C中，tan∠4＝＝＝，
∵ND'∥DC，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠4，
∴tan∠7＝tan∠3＝3，tan∠6＝tan∠4＝，
过点H作KH⊥MD’于点K，
设MK＝m，KH＝3m，得D’H＝5m，
由HD'＝6m＝，
∴m＝，
∴S△MD’H＝MD'•HK＝m8＝×（）5＝，
即S△MD’H＝．
【点评】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2