2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 医疗废物B. 中国红十字会
C. 医疗卫生服务机构D. 国际急救
2.抛物线y=−2(x+1)2−6的顶点坐标为( )
A. (−1,6)B. (1,−6)C. (1,6)D. (−1,−6)
3.下列事件为必然事件的是( )
A. 袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B. 三角形的内角和为180°
C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
4.已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
5.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85.下列表述错误的是( )
A. 众数是85B. 平均数是85C. 中位数是80D. 极差是15
6.若关于x的方程kx2−4x−2=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k≥2B. k≥−2C. k>−2且k≠0D. k≥−2且k≠0
7.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，∠A为( )
A. 45°
B. 60°
C. 72°
D. 36°
8.某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是( )
A. 200(1+x)+200(1+x)2=500
B. 200(1+x)2=500
C. 200+200(1+x)+200(1+x)2=500
D. 200(1−x)2=500
9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心， 13米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为 17米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( )
A. 13+ 52米B. 2 13− 352米C. 2 13− 312米D. 2 3+ 352米
10.函数y=ax−a和y=ax2+2(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
11.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=60°，OA=4，过点B作BC⊥OA于点C，分别以AC，BC为边作矩形ACBD，则图中阴影部分的面积为( )
A. 6 3−83π
B. 8 3−83π
C. 8 3−163π
D. 6 3−163π
12.已知抛物线y=−x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为−7，求此时t的值为( )
A. 1或−2B. 2或−2C. 3或−1D. −1或−2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若点A(3,−5)与点B关于原点对称，则点B的坐标为______．
14.已知关于x的一元二次方程x2−3x−2=0的两实数根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为______．
15.如图，在△OAB中，OA=OB，顶点A的坐标为(5,0)，P是OA上一动点，将点P绕点C(0,1)逆时针旋转90°，若点P的对应点P′恰好落在AB边上，则点P′的坐标为______．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD= 2，P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−3|−( 10−1)0− 4+(14)−1．
18.(本小题6分)
化简：(2a−1+1)÷a2+aa2−2a+1．
19.(本小题6分)
如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB.求证：∠F=∠C．
20.(本小题7分)
随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图(其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”)．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为______人，m= ______；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学(其中有一名男生，三名女生)中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21.(本小题7分)
某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售该品牌童装获得的利润(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1、x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0.求m的值．
23.(本小题8分)
如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
24.(本小题12分)
如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上的一点，且PA=PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
(1)求证：PB是⊙O的切线．
(2)若AQ=4，CQ=2，点D为BP上一点，且BD：DP=4：5，求QD的值．
25.(本小题12分)
如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于点A和点(3,0)，与y轴交于点C(0,2)，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D为直线BC上方抛物线上一动点，当S△DBC最大时，求点D的坐标并求此时△DBC面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形BPDQ为正方形时，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2(x+1)2−6，
∴该抛物线的顶点坐标为(−1,−6)，
故选：D．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
3.【答案】B
【解析】解：A.袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B.三角形的内角和为180°是必然事件；
C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：B．
一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件。
4.【答案】A
【解析】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：这组数据中85出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位85；
由平均数公式求得这组数据的平均数位85，极差为95−80=15；
将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是85，故中位数为85．
所以选项C错误．
故选：C．
本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．
本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
6.【答案】B
【解析】解：当k=0时，方程为−4x−2=0，
解得x=−12，
当k≠0时，方程为kx2−4x−2=0，
根据判别式Δ=(−4)2−4k×(−2)≥0，
解得k≥−2，且k≠0，
综上所述，k的范围为k≥−2，
故选：B．
当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解．当k≠0时，根据判别式的意义可以解得k的范围，即可得出答案．
本题考查了方程根的判别式，解题关键是熟记判别式与方程解的关系．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵四边形OBCD是菱形，
∴∠BOD=∠C，
由圆周角定理得，∠A=12∠BOD，
∴∠BOD+12∠BOD=180°，
解得，∠BOD=120°，
∴∠A=60°，
故选：B．
根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得：200(1+x)2=500．
故选：B．
利用计划八月份借出图书数量=六月份借出图书数量×(1+七、八月份借出的图书每月平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过点O作半径OC⊥AB于点D，则AD=BD= 172米，OA=OC= 13米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2=OD2+AD2，
即( 13)2=OD2+( 172)2，
解得OD= 352(取正值)，
∴CD=OC−OD= 13− 352=2 13− 352(米)，
即盛水桶在水面以下的最大深度为2 13− 352米．
故选：B．
根据垂径定理、勾股定理求出OD，进而计算出CD即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵y=ax2+2，
∴二次函数y=ax2+2的图象的顶点为(0,2)，故A、B不符合题意；
当y=ax−a=0时，x=1，
∴一次函数y=ax−a的图象过点(1,0)，故D不符题意，C符合题意．
故选：C．
由二次函数y=ax2+2的图象顶点(0,2)可排除A、B答案；由一次函数y=ax−a的图象过点(1,0)可排除D答案．此题得解．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次(二次)函数图象经过定点排除A、B、D选项是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵∠AOB=60°，BC⊥OA，OA=4，
∴∠OBC=30°，∠BCO=90°，OB=4，
∴OC=2，BC= OB2−OC2= 42−22=2 3，
∴AC=OA−OC=4−2=2，
∴S阴影=S△OBC+S矩形ADBC−S扇形OAB
=OC⋅BC2+AC⋅BC−60π×42360
=2×2 32+2×2 3−60π×16360
=2 3+4 3−8π3
=6 3−8π3，
故选：A．
根据题意和题目中的数据，可以先计算出OC和BC的长，然后计算出AC的长，再根据S阴影=S△OBC+S矩形ADBC−S扇形OAB，代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、矩形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】B
【解析】解：对于y=−x2+2x+1，
当x=t时，y=−t2+2t+1，
当x=t+2时，y=−(t+2)2+2(t+2)+1=−t2−2t+1；
①当t≤−1时，
抛物线在x=t时，取得最小值，
即y=−t2+2t+=−7，
解得：t=4(舍去)或−2，
故t=−2；
②当−1