2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. x3+x3=2x6B. (x2)4=x6C. x2⋅x4=x6D. (−2x)3=−6x3
3.生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为( )
A. 0.432×10−5B. 4.32×10−6C. 4.32×10−7D. 43.2×10−7
4.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数为( )
A. 9B. 6C. 7D. 8
5.如图，AB=AD，要说明△ABC≌△ADE，需添加的条件不能是( )
A. ∠E=∠C
B. AC=AE
C. ∠ADE=∠ABC
D. DE=BC
6.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. a(x+y)=ax+ayB. a2−4=(a+2)(a−2)
C. −x4+16=(x2−4)(4+x2)D. 2a2+2=2a(a+1a)
7.已知x2+kx+1是一个完全平方式，则k的值为( )
A. 2B. ±2C. 1D. 1或−3
8.若把分式x+y2x−2y中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的4倍B. 扩大为原来的2倍C. 缩小为原来的12D. 不变
9.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
10.如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠ADE的度数为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
11.已知关于x的分式方程3x−ax−3=13的解是非负数，那么a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a≥1且a≠9D. a≤1
12.如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，若△ABC的面积等于10，则△ADC的面积等于( )
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为______．
14.分解因式：x3−x=
15.已知mn=2，则(m+n)2−(m−n)2的值是______．
16.如图，三角形△OAB中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(6 3,0).OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 2+|3− 8|+(−12)−1−20230．
18.(本小题6分)
先化简：a2−1a2+2a÷(a−2+3a+2)，然后选择一个恰当的数代入求值．
19.(本小题6分)
如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．
20.(本小题7分)
解方程：4x−3=13−x+2．
21.(本小题7分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(2,3)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在图中，若B2(−4,2)与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为______；
(3)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．
(注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹)
(4)求△A1B1C1的面积．
22.(本小题8分)
如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AEB的度数。
23.(本小题8分)
为打造绿色生态公园，明湖公园计划购买甲、乙两种树苗.已知一棵甲种树苗比一棵乙种树苗贵4元，购买甲种树苗的费用和购买乙种树苗的费用分别是7000元和5000元．
(1)若两种树苗购买的棵数一样多，求甲、乙两种树苗的单价；
(2)根据(1)中两种树苗的单价，若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过12000元，求甲种树苗最多购买多少棵．
24.(本小题12分)
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=−4m=3n
解得：n=−7，m=−21∴另一个因式为(x−7)，m的值为−21
问题：仿照以上方法解答下面两个问题：
(1)已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．
(2)已知二次三项式3x2+ax−1(a为常数)能因式分解为两个因式相乘，这两个因式都是一次二项式，且一次项系数都是正整数，常数项为整数，试猜测它的两个因式，并求a的值．
25.(本小题12分)
已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
(1)如图1，设点P的运动时间为t(s)，那么t=______(s)时，△PBC是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
(4)如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、B、C的图形能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.原式=2x3，选项错误，不符合题意；
B.原式=x8，选项错误，不符合题意；
C.原式=x2+4=x6，选项正确，符合题意；
D.原式=−8x3，选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则进行判断便可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，关键是熟记合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则．
3.【答案】B
【解析】【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.00000432=4.32×10−6，
故选：B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，依此列方程可求解．
【解答】
解：设这个多边形边数为n，
则1080°=(n−2)⋅180°，
解得n=8．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB=AD，且∠A=∠A，
∴当∠E=∠C时，满足AAS，可证明△ABC≌△ADE，
当AC=AE时，满足SAS，可证明△ABC≌△ADE，
当∠ADE=∠ABC时，满足ASA，可证明△ABC≌△ADE，
当DE=BC时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ADE，
故选D．
由条件AB=AD，结合∠A=∠A，要使△ABC≌△ADE则需添加一组角相等或AC=AE，则可求得答案．
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
6.【答案】B
【解析】本题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
根据因式分解的定义判断求解．
解：A.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.按照平方差公式因式分解，符合因式分解定义，故此选项符合题意；
C.−x4+16=(−x2+4)(4+x2)=(x+2)(−x+2)(4+x2)，故此选项不符合题意；
D.没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2+kx+1是关于x的完全平方式，
∴kx=±2⋅x⋅1，
解得：k=±2，
故选：B．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：
2x+2y2×2x−2×2y=2(x+y)2(2x−2y)=x+y2x−2y，
则分式的值不变，
故选：D．
把x和y都扩大为原来的2倍后代入x+y2x−2y化简即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠ADE=∠B，
∴∠EAC=∠DAB=40°，
∴△ABD中，∠B=12(180°−∠BAD)=70°，
∴∠ADE=∠B=70°，
故选：C．
根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠ADE=∠B，再根据∠EAC=40°，即可得到∠BAD的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，根据分式方程的解法即可求出a的取值范围．
【解答】
解：3(3x−a)=x−3，
9x−3a=x−3，
8x=3a−3
∴x=3a−38，
由于该分式方程有解，
令x=3a−38代入x−3≠0，
∴a≠9，
∵该方程的解是非负数解，
∴3a−38≥0，
∴a≥1，
∴a的范围为：a≥1且a≠9，
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADE=90°，
∴△BAD≌△EAD(ASA)，
∴BD=DE，
∴S△ADE=12S△ABE，S△CDE=12S△CBE，
∴S△ADC=12S△ABC=12×10=5，
故选：B．
延长BD交AC于点E，证明△BAD≌△EAD，根据全等三角形的性质得到BD=DE，根据三角形中线的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
13.【答案】(−2,−1)
【解析】解：(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
14.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：x3−x，
=x(x2−1)，
=x(x+1)(x−1)．
故答案为：x(x+1)(x−1)．
15.【答案】8
【解析】解：∵mn=2，
∴原式=(m+n+m−n)(m+n−m+n)
=4mn
=4×2
=8．
故答案是：8．
运用平方差公式将所求代数式化简，再整体代入即可．
本题考查了平方差公式的运用．关键是把m+n、m−n看作整体，使用平方差公式，使运算简便；本题也可以使用完全平方公式解题．
16.【答案】3 3
【解析】【分析】
本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
在射线OB上截取一点N′，使得ON′=ON，则△OMN≌△OMN′，可得MN=MN′.作AH⊥OB于H.可得AM+MN=AM+MN′，推出当A、M、N′共线，且垂直OB时，PM+MN′的值最小，最小值为AH．
【解答】
解：在射线OB上截取一点N′，使得ON′=ON，则△OMN≌△OMN′，可得MN=MN′.作AH⊥OB于H．
∴AM+MN=AM+MN′，
∴当A、M、N′共线，且垂直OB时，AM+MN′的值最小，最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB=AB=6 3，∠ABH=30°，
∴AH=12AB=3 3，
∴AM+MN的最小值为3 3，
故答案为3 3．
17.【答案】解：原式= 2+3−2 2+(−2)−1
=3−2−1+ 2−2 2
=− 2．
【解析】根据绝对值的性质和整数指数幂的性质，先算乘方、开方和去绝对值符号，然后算加减即可．
本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和整数指数幂的性质．
18.【答案】解：a2−1a2+2a÷(a−2+3a+2)
=(a+1)(a−1)a(a+2)÷(a−2)(a+2)+3a+2
=(a+1)(a−1)a(a+2)÷a2−1a+2
=(a+1)(a−1)a(a+2)⋅a+2(a+1)(a−1)
=1a，
∵a2−1≠0，a≠0，a+2≠0，
∴a≠±1，a≠0，a≠−2，
∴当a=3时，原式=13．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AD=AE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
20.【答案】解：方程两边同乘以(x−3)，
得4=−1+2(x−3)，
解得x=112，
检验：当x=112时，x−3≠0，
∴原分式方程的解为x=112．
【解析】按解分式方程的一般步骤求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
21.【答案】直线x=0 (−2,3)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)在图中，若B2(−4,2)与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x=0，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为(−2,3)；
故答案为：直线x=0，(−2,3)；
(3)如图，点P即为所求，△APB的周长最小=AB+AB2= 12+32+ 12+52= 10+ 26；
(4)△A1B1C1的面积为：2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=52．
(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C使得对应点A1，B1，C1即可．
(2)利用轴对称的性质解决问题即可．
(3)连接AB2交y轴于点P，连接PB，点P即为所求，利用勾股定理求出AB2的值即为△ABP的最小值；
(4)利用三角形面积计算公式及割补法解答即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
22.【答案】(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
又∵∠ACD=∠ACB−∠DCB，∠BCE=∠DCE−∠DCB
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE
(2)解：在等边△ECD中，
∠CDE=∠CED=60°
∴∠ADC=120°
∵△ACD≌△BCE
∴∠BEC=∠ADC=120°
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=120°−60°=60°
【解析】在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
(1)由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；
(2)根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数。
23.【答案】解：(1)设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为(x−4)元，
由题意得：7000x=5000x−4，
解得：x=14，
经检验，x=14是原方程的解，
则x−4=10，
答：甲种树苗的单价为14元，乙种树苗的单价为10元；
(2)设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了(1100−m)棵，
由题意得：14m+10(1100−m)≤12000，
解得：m≤250，
答：甲种树苗最多购买250棵．
【解析】(1)设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为(x−4)元，由题意：购买甲种树苗的费用和购买乙种树苗的费用分别是7000元和5000元，两种树苗购买的棵数一样多，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲种树苗购买m棵，则乙种树苗购买了(1100−m)棵，由题意：根据(1)中两种树苗的单价，购买两种树苗的总费用不超过12000元，列出不等式，解之即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)设另一个因式是(x+b)，则，
(2x−5)(x+b)=2x2+2bx−5x−5b=2x2+(2b−5)x−5b=2x2+3x−k，
则2b−5=3−5b=−k，
解得：b=4k=20．
则另一个因式是x+4，k=20．
(2)设一个因式是(3x+1)，则另一个因式是(x−1)，
∵(3x+1)(x−1)=3x2−3x+x−1=3x2−2x−1=3x2+ax−1，
∴a=−2；
或设一个因式是(3x−1)，则另一个因式是(x+1)，
∵(3x−1)(x+1)=3x2+3x−x−1=3x2+2x−1=3x2+ax−1，
∴a=2．
故a的值是−2或2．
【解析】(1)设另一个因式是(x+b)，则(2x−5)(x+b)=2x2+2bx−5x−5b=2x2+(2b−5)x−5b=2x2+3x−k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
(2)设一个因式是(3x+1)，则另一个因式是(x−1)或设一个因式是(3x−1)，则另一个因式是(x+1)，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a的值．
本题考查了因式分解−十字相乘法等，因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
25.【答案】(1)32；
(2)当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，
3−t=0.5t，所以t=2；
当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
3−t=2t，所以t=1；
所以t=1或2;
(3)因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
又因为∠A=60°，
所以AD=2AP，2t+t=3，
解得t=1；
(4)相等，如图所示：
作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE//QG，则易知∠G=∠AEP，∠A=∠ACB=∠QCG=60°，
在△GCQ和△EAP中，
因为∠G=∠AEP∠GCQ=∠A=60°CQ=AP,
所以△GCQ≌△EAP(AAS)，
所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．
【解析】解：(1)当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=32
故答案为：32；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案．
【分析】
(1)当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；
(2)因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；
(3)因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；
(4)面积相等．可通过同底等高验证．
本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．