四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
2．（3分）2023年7月28日，成都将在东安湖体育公园举行大运会，公园建设共分为体育场、多功能馆、游泳跳水馆、小球馆、媒体中心五个部分，其中体育场将作为成都大运会的开幕式举办场地，其用地面积460亩，建筑面积约120000m2，建筑高度约50m，其中120000用科学记数法可表示为（ ）
A．12×104B．0.12×106C．1.2×105D．1.2×10﹣4
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1且x≠
C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1且x≠
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab2+3ab2＝5a2b4B．（a2）3＝a8
C．（﹣3a）2＝6a2D．a2•a3＝a5
5．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞﹣1且m≠0
6．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5
7．（3分）铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．88（1+x）2＝24
B．88（1﹣x）2＝24
C．24（1+x）2＝88
D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88
8．（3分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
9．（3分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
10．（3分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
11．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．D．±3
二.填空题（共4小题）
13．（3分）分解因式：3x2﹣12＝ ．
14．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，且++x1x2＝6，则k的值为 ．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝6，∠D＝60°，BE平分∠ABC，交AD于点E，P、Q分别为BE、BC上的两个动点，则CP+PQ的最小值是 ．
三.解答题（共9小题）
17．计算：．
18．化简：（1+）÷．
19．已知：如图，A、B、C、D在同一直线上，且AE∥DF，AE＝DF，AC＝BD．求证：∠E＝∠F．
20．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
​根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，阳春三月，正是放风筝的好时节，某商店购进一批风筝．已知成批购进时的单价是30元．调查发现：销售单价是40元时，月销售量是300件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个风筝售价不能高于60元．设每个风筝的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每个风筝的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？
22．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，△PBC面积最大，并求出此时P点的坐标；
（3）设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）2023年7月28日，成都将在东安湖体育公园举行大运会，公园建设共分为体育场、多功能馆、游泳跳水馆、小球馆、媒体中心五个部分，其中体育场将作为成都大运会的开幕式举办场地，其用地面积460亩，建筑面积约120000m2，建筑高度约50m，其中120000用科学记数法可表示为（ ）
A．12×104B．0.12×106C．1.2×105D．1.2×10﹣4
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：120000＝1.2×105．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1且x≠
C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1且x≠
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0且2x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab2+3ab2＝5a2b4B．（a2）3＝a8
C．（﹣3a）2＝6a2D．a2•a3＝a5
【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则求解．
【解答】解：2ab2+3ab2＝5ab2，（a2）3＝a6，（﹣3a）2＝9a2，a2•a3＝a5，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞1C．m＜1且m≠0D．m＞﹣1且m≠0
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
6．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．（3分）铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．88（1+x）2＝24
B．88（1﹣x）2＝24
C．24（1+x）2＝88
D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88
【分析】由该鞋厂10月份的运动鞋产量及11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率，可得出该鞋厂11月份的运动鞋产量为24（1+x）万双，12月份的运动鞋产量为24（1+x）2万双，结合该鞋厂第四季度的总产量为88万双，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，
∴该鞋厂11月份的运动鞋产量为24（1+x）万双，12月份的运动鞋产量为24（1+x）2万双．
根据题意得：24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3
C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
9．（3分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3）B．（9，﹣3）C．（﹣9，3）D．（﹣9，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
11．（3分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据两个函数图象交于y轴上的同一点可排除A；当a＞0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除D选项；当a＜0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除C选项．此题得解．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．
故选：B．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
12．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．D．±3
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由2≤x≤3时，y的最大值为10，可得x＝2时，y＝10，即可求出a．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵2≤x≤3时，y的最大值为10，
∴x＝2时，y＝4a﹣4a+a2+1＝10，
∴a＝﹣3或a＝3（不合题意舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
二.填空题（共4小题）
13．（3分）分解因式：3x2﹣12＝ 3（x﹣2）（x+2） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
14．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，且++x1x2＝6，则k的值为 ± ．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝k，x1x2＝﹣4，对所给的等式进行整理，代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣4，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝6，
k2﹣（﹣4）＝6，
k2＝2，
k＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是 ﹣2＜x＜4 ．
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16．（3分）如图，▱ABCD中，BC＝6，∠D＝60°，BE平分∠ABC，交AD于点E，P、Q分别为BE、BC上的两个动点，则CP+PQ的最小值是 ．
【分析】过点C作CF⊥BE交AB的延长线于点F，交BE于点M，CP+PQ＝FP+PQ，当FQ⊥BC时，此时CP+PQ最小，即求出FQ的长．
【解答】解：过点C作CF⊥BE交AB的延长线于点F，交BE于点M，
∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴BE平分CF，CM＝FM，则BC＝BF＝6，
过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，交BE于点P，连接CP，此时FQ最小，即CP+PQ最小，
在Rt△FBQ中，∠ABC＝∠D＝60°，
∴∠BFQ＝30°，
∴，
∴，
即CP+PQ的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定以及点到直线垂线段最短等知识，熟练掌握将线段和最小值问题转化为点到直线垂线段最短是解题的关键．
三.解答题（共9小题）
17．计算：．
【分析】根据绝对值的性质，零指数幂的意义、负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝3+（﹣1）×1﹣4
＝3﹣1﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
18．化简：（1+）÷．
【分析】本题考查分式的混合运算，要注意运算顺序，有括号先算括号里的，再把除法转化为乘法来做，经过分解因式、约分把结果化为最简．
【解答】解：原式＝（4分）
＝（6分）
＝x+1．（8分）
【点评】括号里的计算注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．
19．已知：如图，A、B、C、D在同一直线上，且AE∥DF，AE＝DF，AC＝BD．求证：∠E＝∠F．
【分析】由AE∥DF，得∠A＝∠D，而AE＝DF，AC＝DB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEC≌△DFB，则∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠E＝∠F．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEC≌△DFB是解题的关键．
20．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
​根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有 300 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；
（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%＝300（人），
“文明宣传”的人数为：300﹣60﹣120﹣30＝90（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×＝144°；
（3）1500×80%×＝360（名），
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，阳春三月，正是放风筝的好时节，某商店购进一批风筝．已知成批购进时的单价是30元．调查发现：销售单价是40元时，月销售量是300件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个风筝售价不能高于60元．设每个风筝的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每个风筝的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？
【分析】（1）根据题意知每个风筝的利润为（40+x﹣30）元，月销售量为（300﹣10x），然后根据月销售利润＝每个风筝的利润×月销售量即可求出函数关系式；
（2）把y＝﹣10x2+200x+3000化成顶点式，求得当x＝10时，y有最大值，再计算出y的值即可．
【解答】解：（1）依题意得y＝（40+x﹣30）（300﹣10x）
即y＝﹣10x2+200x+3000，
自变量x的取值范围是：0＜x≤20且x为正整数（或1≤x≤20且x为正整数）；
（2）y＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，0＜x≤20且x为正整数，
∴当x＝10时，x+40＝50，y＝4000，
∴每个风筝的售价定为50元时，商店可获得最大月销售利润，最大的月销售利润是4000元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式．
22．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，
则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，且k≠0，
即，
即：1﹣2k＞0，
∴，且k≠0；
（2）存在．
根据题意，，
∴，
∴，
经检验，是方程的根，且符合题意，
即．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，△PBC面积最大，并求出此时P点的坐标；
（3）设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB，即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×（t﹣3﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，
此时点P的坐标为（，﹣）；
（3）存在．
理由：如图，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴设点D（1，a），Q（n，n2﹣2n﹣3），
假设存在以B，C，D，Q为顶点、BC为边的四边形是平行四边形，
①当四边形BCDQ是平行四边形时，
∵点C（0，﹣3），B（3，0），
∴n+0＝3+1，
∴n＝4，
∴P（4，5），
②当四边形BCQ'D'是平行四边形时，
∵点C（0，﹣3），B（3，0），
∴n+3＝0+1，
∴n＝﹣2，
∴P（﹣2，5），
综上，满足条件的点P（4，5）或（﹣2，5）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，平行四边形的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．