人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数课后作业题

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一、选择题
已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，则函数y＝f(1﹣x)的大致图象是( )

【答案解析】答案为：D.
解析：先画出函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的大致图象，
令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(﹣x)的图象，
再把所得的函数f(﹣x)的图象，向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(1﹣x)的图象.
太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克.下列各数中与eq \f(m,M)最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 6≈0.778 2)
A.10﹣5.519 B.10﹣5.521 C.10﹣5.525 D.10﹣5.523
【答案解析】答案为：D
解析：因为eq \f(m,M)＝3×10﹣6，所以lg eq \f(m,M)＝lg 3＋lg 10﹣6≈0.477 1﹣6＝﹣5.522 9≈﹣5.523.
故eq \f(m,M)≈10﹣5.523.
若正数a，b满足2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值为( )
A.36 B.72 C.108 D.54
【答案解析】答案为：C
解析：设2＋lg2a＝3＋lg3b＝lg6(a＋b)＝t，则a＝2t﹣2，b＝3t﹣3，a＋b＝6t，
所以ab＝2t﹣2·3t﹣3＝＝＝，所以＋＝＝108.故选C.
已知函数的值域为R，那么a的取值范围是( )
A.[﹣1,0.5) B.(﹣1,0.5) C.(﹣∞，﹣1] D.(0,0.5)
【答案解析】答案为：A
设2a=5b=m，且，则m=( )
A. B.﹣ C.或﹣ D.10
【答案解析】答案为：A
解析：由题意可得，由等式()两边取对数，
可得，所以
可得，选A.
函数是(﹣∞,+∞)上的减函数，则a取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,) C.[,) D.[,1)
【答案解析】答案为：C
解析：由题可知，是上的减函数，
则需满足，解得故选：C
已知函数f(x)＝,若函数f(x)在定义域R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.1＜a＜eq \f(3,2) B.1＜a≤eq \f(3,2) C.a＞eq \f(3,2) D.a≥eq \f(3,2)
【答案解析】答案为：B
解析：因为函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－1))x－1，x≤1，,lgax＋1，x>1，))若函数f(x)在定义域R上单调递增，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,a>1，,2a－1－1≤lga1＋1，))解得1＜a≤eq \f(3,2).
若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是( )
A.＞＞ B.＞＞
C.＞＞ D.＞＞
【答案解析】答案为：B
解析：由题意可得，，，分别看作函数f(x)＝lg2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(b))与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，＞＞．故选：B．
若x2﹣lga(x＋1)＜2x﹣1在x∈(eq \f(1,2),1)内恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[(eq \f(3,2))﹣4,1) B.((eq \f(3,2))﹣4,1) C.[1,(eq \f(3,2))4) D.(1,(eq \f(3,2))4]
【答案解析】答案为：D.
解析：由x2﹣lga(x＋1)＜2x﹣1在x∈(eq \f(1,2),1)内恒成立，可得x2﹣2x＋1＜lga(x＋1)在x∈(eq \f(1,2),1)内恒成立，结合二次函数与对数函数的性质可得，当0＜a＜1时，显然不符合题意；当a＞1时，令f(x)＝x2﹣2x＋1，g(x)＝lga(x＋1)，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的大致图象，如图所示，
令f(eq \f(1,2))≤g(eq \f(1,2))，得eq \f(1,4)≤lgaeq \f(3,2)，即 SKIPIF 1 < 0 ≤eq \f(3,2)，解得a≤(eq \f(3,2))4，所以要使x2﹣lga(x＋1)＜2x﹣1在x∈(eq \f(1,2),1)内恒成立，故实数a的取值范围是(1,(eq \f(3,2))4].
关于x的函数y=lg0.5(x2﹣ax+2a)在[1,+∞)上为减函数，则实数a取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.(﹣1,+∞) C.(﹣1,2] D.(﹣∞,﹣1)
【答案解析】答案为：C
已知函数，若正实数a,b满足f(4a)+f(b﹣1)=2，则的最小值为( )
A.4 B.8 C.9 D.13
【答案解析】答案为：C
解析：由函数，设，
知，所以是奇函数，则，
又因为正实数a，b满足，
所以，，
当且仅当，时取到等号.故选：C.
设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)=f(2﹣x)，当x∈[﹣2,0]时，f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x﹣1，若在区间(﹣2,6)内关于x的方程f(x)﹣lga(x＋2)=0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.(0.25,1) B.(1,4) C.(1,8) D.(8，＋∞)
【答案解析】答案为：D；
解析：依题意得f(x＋2)=f(﹣(2﹣x))=f(x﹣2)，即f(x＋4)=f(x)，
则函数f(x)是以4为周期的函数，
结合题意画出函数f(x)在x∈(﹣2,6)上的图象与函数y=lga(x＋2)的图象，
结合图象分析可知.
要使f(x)与y=lga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,lga6＋2＜1，))
由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞).
二、填空题
若函数f(x)＝lg0.5(﹣x2＋4x＋5)在区间(3m﹣2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为________________.
【答案解析】答案为：[eq \f(4,3),2).
解析：根据对数函数的定义可得﹣x2＋4x＋5＞0，解得﹣1＜x＜5，因为二次函数y＝﹣x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝﹣eq \f(4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1)))＝2，由复合函数的单调性可得函数f(x)＝lg0.5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋5))的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，5))，要使函数f(x)＝lg0.5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋5))在区间(3m﹣2，m＋2)内单调递增，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m－2≥2，,m＋2≤5，,3m－2lg 0.51=0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)=lg 0.5 (﹣x＋1)在(﹣∞，0]上为增函数.
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
∵f(a﹣1)1，解得a>2或a0，a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；
(3)求关于x的不等式f(x)>0的解集.
【答案解析】解：

已知函数f(x)=lneq \f(x＋1,x－1).
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)=lneq \f(x＋1,x－1)＞lneq \f(m,x－17－x)恒成立，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)由eq \f(x＋1,x－1)＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
∴函数f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)，
当x∈(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)时，
f(﹣x)=lneq \f(－x＋1,－x－1)=lneq \f(x－1,x＋1)=lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x－1)))﹣1=﹣lneq \f(x＋1,x－1)=﹣f(x).
∴f(x)=lneq \f(x＋1,x－1)是奇函数.
(2)由于x∈[2,6]时，f(x)=lneq \f(x＋1,x－1)＞lneq \f(m,x－17－x)恒成立，
∴eq \f(x＋1,x－1)＞eq \f(m,x－17－x)＞0，
∵x∈[2,6]，∴0＜m＜(x＋1)(7﹣x)在x∈[2,6]上恒成立.
令g(x)=(x＋1)(7﹣x)=﹣(x﹣3)2＋16，x∈[2,6]，
由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，
x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min=g(6)=7，
∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7).
已知函数为奇函数，a为常数.
(1)确定a的值；
(2)求证：f(x)是(1,+∞)上的增函数；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>(0.5)x+m恒成立，求实数m取值范围.
【答案解析】解：

已知函数f(x)=lga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.
(1)当a=2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；
(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围.
【答案解析】解：(1)∵lg2(22x＋t)＜x=lg22x，
∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，
即t≥﹣22x＋2x=g(x)恒成立，即t≥g(x)max，
∵g(x)=﹣22x＋2x=﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，
∴当2x=eq \f(1,2)，即x=﹣1时，g(x)取得最大值eq \f(1,4)，
∴t≥eq \f(1,4)，故t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).
(2)由题意知f(x)=lga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝m，,fn＝n，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2m＋t＝am，,a2n＋t＝an，))
问题等价于关于k的方程a2k﹣ak＋t=0有两个不相等的实根，
令ak=u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2﹣u＋t=0
在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(u1＋u2＞0，,u1·u2＞0，,Δ＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＞0，,t＜\f(1,4)，))得0＜t＜eq \f(1,4).
∴t的取值范围为(0,0.25).
已知函数f(x)＝lg2(4x＋1)﹣kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝2f(2x)﹣m•2f(x)＋1，h(x)＝2cs(x＋eq \f(π,3))，若∀x1∈[﹣1,0]，∀x2∈[0,π] SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 总有g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．
【答案解析】【答案】(1)k＝1；(2)(﹣∞,eq \f(1,4)]．
【解析】【分析】(1)由于函数为偶函数，所以可得f(﹣x)＝f(x) SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，从而可求出k的值；
(2)由题意可得g(x1)min≥h(x2)max，利用三角函数性质可求出
然后讨论对称轴与区间的关系g(x)的最小值，从而可求出结果
解：(1)∵函数f(x)＝lg2(4x＋1)﹣kx(k∈R)为偶函数，∴f(﹣x)＝f(x)恒成立，