数学必修 第三册第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像7.3.5 已知三角函数值求角当堂检测题
展开一.选择题(本题共10道小题,每题5分)
1.已知sin x=eq \f(\r(2),2),且x∈[0,2π],则x的取值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C. π4 ,eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,4)
2.满足tan x=-eq \r(3)的x的集合是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=\f(2,3)π)))) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=kπ-\f(π,6),k∈Z))))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=2kπ-\f(π,3),k∈Z)))) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=kπ-\f(π,3),k∈Z))))
3.方程cs x+eq \f(\r(2),2)=0,x∈[0,2π]的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),\f(5π,4))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),\f(3π,4))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),-\f(3π,4))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4),\f(7π,4)))
4.方程2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=1的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=2kπ+\f(π,3),k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=2kπ+\f(5,3)π,k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=2kπ±\f(π,3),k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=kπ+(-1)k\f(π,3),k∈Z))))
5.已知tanθ=-1,且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))),则θ的大小是( )
A.-eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(3π,4),eq \f(5π,4)
6.若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))=eq \f(\r(3),3),则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.使得等式2cseq \f(x,2)=1成立的x的集合是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=4kπ+\f(π,3),k∈Z)))) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=4kπ+\f(π,6),k∈Z))))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=4kπ±\f(2,3)π,k∈Z)))) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=2kπ+\f(π,6),k∈Z))))
8.使不等式eq \r(2)-2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,4)≤x≤2kπ+\f(3π,4),k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,4)≤x≤2kπ+\f(7π,4),k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(5π,4)≤x≤2kπ+\f(π,4),k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(5π,4)≤x≤2kπ+\f(7π,4),k∈Z))))
9.若cs(π-x)=eq \f(\r(3),2),x∈(-π,π),则x的值等于( )
A.eq \f(5π,6),eq \f(7π,6) B.±eq \f(π,6) C.±eq \f(5π,6) D.±eq \f(2π,3)
10.使arcsin(1-x)有意义的x的取值范围是( )
A.[1-π,1] B.[0,2] C.(-∞,1] D.[-1,1]
二.填空题(本题共4道小题,每题5分)
11.若sin(x-π)=-eq \f(\r(2),2),且-2π<x≤0,则角x=__________.
12.若α∈(0,2π),tan α=1,cs α=-eq \f(\r(2),2),则α=__________.
13. 不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x≥0,,2cs x-1>0))的解集为________.
14.已知等腰三角形的顶角为arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2))),则底角的正切值是__________.
三.解答题(本题共3道小题,每题10分)
15. 已知sin x=eq \f(\r(3),2).
(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))时,求x的取值集合;
(2)当x∈[0,2π]时,求x的取值集合;
(3)当x∈R时,求x的取值集合.
16. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))=-eq \f(1,2),x∈[0,2π],求x的集合.
17. 已知函数 f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+1.
(1)求函数f(x)的最大值、最小值以及相应的x值;
(2)若x∈[0,2π],求函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)若f(x)>2,求x的取值范围.
《7.3.5已知三角函数值求角》练习题参考答案
1解析:选C.因为x∈[0,2π],且sin x=eq \f(\r(2),2)>0, 所以x∈(0,π),当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,x=eq \f(π,4),
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π-\f(π,4)))=sineq \f(3π,4)=eq \f(\r(2),2), 所以x=eq \f(3π,4)也符合题意. 所以x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(3π,4))).
2解析:选D.在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))上,当x=-eq \f(π,3)时,tan x=-eq \r(3).所以满足tan x=-eq \r(3)的x的集合为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=kπ-\f(π,3),k∈Z)))).
3解析:选A.在[0,2π]内,cseq \f(3π,4)=cseq \f(5π,4)=-cseq \f(π,4)=-eq \f(\r(2),2).
4解析:选C.因为2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-x))=1,所以2cs x=1,所以cs x=eq \f(1,2). 所以x=2kπ±eq \f(π,3),k∈Z,故选C.
5解析:选B.因为tan θ=-1,且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))),则θ=eq \f(3π,4),故答案选B.
6解析:选B.因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))=eq \f(\r(3),3), 所以2x+eq \f(π,3)=eq \f(π,6)+kπ(k∈Z).所以2x=-eq \f(π,6)+kπ(k∈Z),
所以x=-eq \f(π,12)+eq \f(kπ,2)(k∈Z),所以x=eq \f(5π,12)或x=eq \f(11π,12)或x=eq \f(17π,12)或x=eq \f(23π,12),共4个.
7解析:选C.因为2cseq \f(x,2)=1, 所以cseq \f(x,2)=eq \f(1,2),所以eq \f(x,2)=±eq \f(1,3)π+2kπ,所以x=±eq \f(2,3)π+4kπ,k∈Z.
8解析:选C.由eq \r(2)-2sin x≥0解得:sin x≤eq \f(\r(2),2),进一步利用单位圆解得:2kπ-eq \f(5π,4)≤x≤2kπ+eq \f(π,4)(k∈Z).
9解析:选C.由cs(π-x)=-cs x=eq \f(\r(3),2)得,cs x=-eq \f(\r(3),2). 又∵x∈(-π,π),
∴x在第二或第三象限,∴x=±eq \f(5π,6).
10解析:选B.由题知应有-1≤1-x≤1,∴0≤x≤2.
11解析:∵sin(x-π)=-sin(π-x)=-sin x=-eq \f(\r(2),2),∴sin x=eq \f(\r(2),2).∴x=2kπ+eq \f(π,4)或2kπ+eq \f(3,4)π(k∈Z).
又-2π
13解析:由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x≥0,,2cs x-1>0,))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x≥0,,cs x>\f(1,2),))在单位圆中分别表示出满足以上不等式
的角的集合,如图所示,由三角函数线可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),,2kπ-\f(π,3)
15解析: (1)因为y=sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2)))上是增函数,
且sin eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),2),所以x=eq \f(π,3), 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))是所求集合.
(2)因为sin x=eq \f(\r(3),2)>0,所以x为第一或第二象限的角,且sin eq \f(π,3)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π-\f(π,3)))=eq \f(\r(3),2),
所以在[0,2π]上符合条件的角有x=eq \f(π,3)或x=eq \f(2,3)π, 所以x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(2π,3))).
(3)当x∈R时,x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=2kπ+\f(π,3)或x=2kπ+\f(2π,3),k∈Z)))).
16解析:令θ=2x+eq \f(π,3),∴cs θ=-eq \f(1,2).
当0≤θ≤π时,θ=eq \f(2π,3), 当π≤θ≤2π时,θ=eq \f(4π,3).
∴当x∈R时,θ=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))∈R,
∴2x+eq \f(π,3)=2kπ+eq \f(2π,3)或2x+eq \f(π,3)=2kπ+eq \f(4π,3)(k∈Z), 即x=kπ+eq \f(π,6)或x=kπ+eq \f(π,2)(k∈Z).
又x∈[0,2π], ∴x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,2),\f(7π,6),\f(3π,2))).
17解析:(1)当2x-eq \f(π,3)=2kπ+eq \f(π,2), 即x=kπ+eq \f(5π,12),k∈Z时,函数y=f(x)取得最大值为3;
当2x-eq \f(π,3)=2kπ-eq \f(π,2),即x=kπ-eq \f(π,12),k∈Z时,函数y=f(x)取得最小值为-1.
(2)令t=2x-eq \f(π,3),则当2kπ-eq \f(π,2)≤t≤2kπ+eq \f(π,2),即2kπ-eq \f(π,2)≤2x-eq \f(π,3)≤2kπ+eq \f(π,2),
也即kπ-eq \f(π,12)≤x≤kπ+eq \f(5π,12)(k∈Z)时,函数y=2sin t+1单调递增,
又x∈[0,2π], 所以函数y=f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(5π,12))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12),\f(17π,12))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(23π,12),2π)).
(3)因为y=2sin(2x-eq \f(π,3))+1>2,所以sin(2x-eq \f(π,3))>eq \f(1,2),
从而2kπ+eq \f(π,6)<2x-eq \f(π,3)<2kπ+eq \f(5π,6)(k∈Z),所以kπ+eq \f(π,4)
审校人:本溪市教育学院 刘欣
责任编辑:辽宁教育学院 刘莉 金盈
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