人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案，共9页。


大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识．
问题 已知sin x＝eq \f(\r(3),2)，你能求出满足条件的角x吗？
[提示] x＝eq \f(π,3)＋2kπ或eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z．
知识点 三角函数值求角
1．已知正弦值求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它对应．
2．已知余弦值求角
对于余弦函数y＝cs x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应．
3．已知正切值求角
一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么对每一个正切值y，在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，有且只有一个角x，使tan x＝y．
1．已知α是三角形的内角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
D [因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝eq \f(\r(3),2)时，α＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选D．]
2．已知tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________．
eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12) [因为x∈[0，π]，
所以2x∈[0,2π]．
因为tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)，
所以2x＝eq \f(5π,6)或2x＝eq \f(11π,6)，
所以x＝eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12)．]
类型1 已知正弦值求角
【例1】 已知sin x＝－eq \f(\r(3),2)，求x．
[解] 法一：由sin x＝－eq \f(\r(3),2)<0可知，角x对应的正弦
线方向朝下，而且长度为eq \f(\r(3),2)，如图所示，
可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′．
又因为sin eq \f(4π,3)＝sin eq \f(5π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以x＝eq \f(4π,3)＋2kπ或x＝eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z．
法二：因为sin x＝－eq \f(\r(3),2)，
如图所示，
由正弦函数的图像，知
在[0,2π]内，sin eq \f(4π,3)＝sin eq \f(5π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以x＝eq \f(4π,3)＋2kπ或x＝eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z．
利用正弦值求角的方法
利用正弦线、正弦函数的图像求出一个周期(常用[0,2π]、eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))、eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2))))内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍．另外还要注意范围条件的约束作用．
eq \([跟进训练])
1．已知sin α＝eq \f(3,5)，根据所给范围求角α．
(1)α为锐角；
(2)α∈R．
[解] (1)由于sin α＝eq \f(3,5)，且α为锐角，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α＝arcsin eq \f(3,5)．
(2)由于sin α＝eq \f(3,5)，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin eq \f(3,5)(k∈Z)，
α2＝2kπ＋π－arcsin eq \f(3,5)(k∈Z)，
即α＝nπ＋(－1)narcsin eq \f(3,5)(n∈Z)．
类型2 已知余弦值求角、解不等式
【例2】 (1)(对接教材P58例1改编)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，求x．
(2)求不等式cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))>－eq \f(\r(2),2)的解集．
[解] (1)由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)>0，
知角2x－eq \f(π,3)对应的余弦线方向向右，且长度为eq \f(\r(3),2)，如图所示，
可知角2x－eq \f(π,3)的终边可能是OP，也可能是OP′．
又因为cs eq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)＋2kπ或2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z．
所以x＝eq \f(π,12)＋kπ或x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z．
[解] 如图所示，
在[－π，π]上，eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(3π,4)或eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)时，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(3π,4)＋2kπ或eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(2),2)．
令－eq \f(3π,4)＋2kπ解得－eq \f(11π,6)＋4kπ所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)＋4kπ利用余弦值求角、解不等式
将ωx＋φ看作整体，先求出[0,2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．
eq \([跟进训练])
2．求不等式2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \r(2)<0的解集．
[解] 不等式变形为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))则eq \f(π,4)＋2kπ<2x＋eq \f(π,6)解得eq \f(π,24)＋kπ所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,24)＋kπ＜x＜\f(19π,24)＋kπ，k∈Z))))．
类型3 已知正切值求角
【例3】 (1)方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A．2B．3
C．4D．5
(2)当0(1)C (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) [(1)法一：令t＝2x＋eq \f(π,3)，作出函数y＝tan t的图像如图：
令2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z．
又由0≤eq \f(kπ,2)<2π，所以k＝0,1,2,3．
故在区间[0,2π)上有4个解．
法二：由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)>0，设t＝2x＋eq \f(π,3)，
所以角2x＋eq \f(π,3)对应的正切线方向朝上，而且长度为eq \r(3)，如图所示，
可知2x＋eq \f(π,3)的终边可能是OT，也可能是OT′，
因为tan eq \f(π,3)＝tan eq \f(4π,3)＝eq \r(3)，
所以2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z．
又由0≤eq \f(kπ,2)<2π，所以k＝0,1,2,3．
故在区间[0,2π)上有4个解．
(2)由正切函数的图像知，当0若tan x<－1，则eq \f(π,2)即实数x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))．]
已知正切值求角、解不等式
(1)将ωx＋φ看作一个整体，先根据正切线、图像求出一个周期内的值或范围，一般选取eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，再推广到定义域上，正切加kπ，区别于正、余弦加2kπ．
(2)最后代入ωx＋φ求值或求范围．
eq \([跟进训练])
3．已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x．
[解] 因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限角．
由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－tan eq \f(π,4)＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－eq \f(π,4)．
又由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)π))＝－tan eq \f(π,4)＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－eq \f(5,4)π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－eq \f(π,4)与－eq \f(5π,4)．
类型4 三角方程的求解
【例4】 若cs x＝cs eq \f(π,7)，求x的值．
1．已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
[提示] 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．
2．怎样求解三角方程？
[提示] 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccs a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．
[解] 在同一个周期[－π，π]内，
满足cs x＝cs eq \f(π,7)的角有两个：eq \f(π,7)和－eq \f(π,7)．
又y＝cs x的周期为2π，所以满足cs x＝cs eq \f(π,7)的x为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±\f(π,7)k∈Z))))．
已知三角函数值求角的步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限；
(2)求出[0,2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角．
eq \([跟进训练])
4．已知sin x＝eq \f(\r(2),2)，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) [因为x∈[0,2π]，且sin x＝eq \f(\r(2),2)＞0，
所以x∈(0，π)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，
y＝sin x递增且sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
所以x＝eq \f(π,4)，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
所以x＝eq \f(3π,4)也符合题意．
所以x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))．]
1．已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝( )
A．eq \f(3π,2) B．eq \f(5π,4)
C．eq \f(4π,3)D．eq \f(7π,4)
B [因为x∈(π，2π)且cs x＝－eq \f(\r(2),2)，所以x＝eq \f(5π,4)．]
2．若tan x＝0，则x等于( )
A．{x|x＝kπ，k∈Z }B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z))))
A [因为tan π＝0，所以当tan x＝0时，x＝(1＋k)π，k∈Z，即x的取值集合为{x|x＝kπ，k∈Z}．]
3．x∈[0,2π]，y＝eq \r(tan x)＋eq \r(－cs x)的定义域为__________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) [由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,－cs x≥0，,x∈[0，2π]，))所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))．]
4．满足等式sin(2x＋45°)＝cs(30°－x)的最小正角x是________．
15° [sin(2x＋45°)＝cs(30°－x)＝sin(60°＋x)，要使x>0，且最小，则2x＋45°＝60°＋x，所以x＝15°．]
5．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) [因为1＋tan α≥0，
所以tan α≥－1，
解得－eq \f(π,4)＋kπ≤α回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．已知ωx＋φ的某三角函数值求角的方法是怎样的？
[提示] 已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后判断角的个数求出角；也可以把ωx＋φ看成任意角，分类求出所有角，再根据x的范围确定整数k的值后得到所求角．
2．已知三角函数值求角的步骤？
[提示] 一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．注意：若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．
1．掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccs x，arctan x表示角．(重点、难点)
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．