高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角导学案及答案，共4页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
（1）如果已知sinx=1/2，你能求出满足条件的角x吗？
（2）如果已知sinx≥1/2，你能求出x的取值范围吗？
二、新知探究
1．已知正弦值求角。
【例1】已知sin x＝eq \f(\r(3),2)。
（1）当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合；
（2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
（3）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解。
【解】（1）∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，∴x＝eq \f(π,3)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))是所求集合。
（2）∵sin x＝eq \f(\r(3),2)＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin eq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝eq \f(π,3)或x＝eq \f(2,3)π，
∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))。
（3）当x ∈ R时，x的取值集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(π,3)))，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))。
[教师小结]
（1）给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用。
（2）对于已知正弦值求角有如下规律：
2．已知余弦值求角
【例2】已知cs x＝－eq \f(1,3)，
（1）当x ∈[0，π]时，求值x；
（2）当x ∈ R时，求x的取值集合。
[思路探究]解答本题可先求出定义arccs a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合。
【解】（1）∵cs x＝－eq \f(1,3)且x∈[0，π]，
∴x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))。
（2）当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解。
∵cs x＝－eq \f(1,3)，故x是第二或第三象限角。
由（1）知x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))是第二象限角，
又cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))＝－eq \f(1,3)，
且2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ或
x＝2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ（k ∈ Z）时，
cs x＝－eq \f(1,3)，即所求x值的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))，k∈Z))。
[教师小结]cs x＝a－1≤a≤1，当x∈[0，π]时，则x＝arccs a，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccs a，k∈Z}。
3．已知正切值求角
【例3】已知tan α＝－3．
（1）若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；
（2）若α∈R，求角α。
[思路探究]尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解。
【解】（1）由正切函数在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）。
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k ∈ Z）。
[教师小结]
（1）已知角的正切值求角，可先求出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角。
（2）tan α＝a，a ∈ R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k ∈ Z}。
三、课堂总结
1．反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围：
2．已知三角函数值求角的步骤：
一、定象限，二、找锐角，三、写x∈[0，2π]的角，四、给答案。
3．若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。
四、课堂检测
1．已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝（ ）。
A．eq \f(3π,2)B．eq \f(5π,4)
C．eq \f(4π,3)D．eq \f(7π,4)
【答案】B
【解析】∵x∈（π，2π）且cs x＝－eq \f(\r(2),2)，∴x＝eq \f(5π,4)。
2．函数y＝eq \r(3－2x)＋π－arccs（2x－3）的定义域是________。
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【解析】由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2x≥0,－1≤2x－3≤1))，
解得1≤x≤eq \f(3,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))。
3．等腰三角形的一个底角为α，且sinα＝eq \f(3,5)，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________。
【答案】π－2arcsineq \f(3,5)。
【解析】由题意，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，又sinα＝eq \f(3,5)，
所以eq \f(π,6)<α所以β＝π－2arcsineq \f(3,5)。
4．求值：eq \f(arcsin \f(\r(3),2)－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),arctan－\r(3))。
【答案】arcsineq \f(\r(3),2)＝eq \f(π,3)，arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2π,3)，arctan（－eq \r(3)）＝－eq \f(π,3)，
∴原式＝eq \f(\f(π,3)－\f(2π,3),－\f(π,3))＝1．教学目标
核心素养
1．掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccs x，arctan x表示角。（难点）
2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角。（重点）
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。
sin x＝a（|a|≤1）
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
x∈[0，2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a
x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a
x2＝2π＋arcsin a
名称
反正弦
反余弦
反正切
记法
arcsin α
arccs α
arctan α
取值范围
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
[0，π]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))