人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角教学设计

7.3.5 已知三角函数值求角

本节课是人教B版必修3《三角函数》一章的最后一节课，在新课程标准中，对已知三角函数值求角这一节的内容没有要求，但是很多的内容要涉及到本节课的内容。例如，立体几何中求两条异面直线的夹角，直线与平面所成的角，解析几何中直线的倾斜角。因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号，但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以。已知三角函数值求角，由于三角函数不是从定义域R到值域上的一一映射，所以已知值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则线求出对应的锐角x，如果函数值为负，则先求出与其绝对值对应的锐角x；第三步，如果要求出以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果。如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了。本节的难点有三个，简单的说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合，克服难点的关键是分层次理解，弄清各层次的意义，但要注意表示形式上的不唯一。

【教学重点】

已知三角函数值求角、特殊的三角函数值对应的角、解三角不等式

【教学难点】

由已知的三角函数值求角，并会用符号表示角

问题1：利用三角函数线求角

答：（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为。

作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为

，

所以或

（2）同样由图可知，如果x的终边在中，则一定有，因此，x的取值范围是

知识点1　利用三角函数线求角

在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小．

【对点快练】

1．sin x＝，x∈(0,2π)，则x＝____________.

答案　或

2．sin x＝，x∈R，则x＝____________.

答案　＋2kπ或＋2kπ，k∈Z

例1.已知，求x

解：由可知，角对应的余弦线方向朝左，且长度为

作示意图，如图所示，可知角的终边可能是OP，也可能是，又因为

所以，或

即或

同前面类似，从图中可以得到不等式的解集为

例2.求。

解：由可知，角x对应的正切线的方向朝下，而且长度为1.

作示意图，如图所示，可知角x的终边可能是，也可能是，又因为

所以

又由，可知或，因此

或。

由图象还可以得到不等式的解集为

【变式练习1】

分别求满足下列条件的x的值：

(1)sin x＝，x∈[－π，π]；(2)cos x＝－，x∈；(3)tan x＝－1，x∈；

(4)cos＝，x∈[0，π]

解　(1)∵sin x＝，x∈[－π，π]，∴x＝或.

(2)∵cos x＝－，x∈，∴x＝或.

(3)∵tan x＝－1，x∈，∴x＝－.

(4) 　∵cos＝，∴2x＋＝2kπ±，k∈Z，

∴x＝kπ或kπ－，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，，π.

【变式练习2】

在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．

(1)sin α≥；(2)cos α≤－.

解　(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为.

(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为.

【变式练习3】

求函数y＝的定义域．

解　由题意得：2cos x－1≥0，则有cos x≥.

如图在x轴上取点M1使OM1＝，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2.

则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围．

∴足cos x ≥ 的角的集合即y＝的定义域为

.

问题2：利用三角函数图象求角

知识点2：利用三角函数图象求角

用三角函数的图像解sin x>a(或cos x>a)的方法：

(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像；

(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值；

(3)选取一个合适周期写出sin x>a(或cos x>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间．

例3. 写出sin x<的解集．

解　作出y＝sin x，x∈及y＝的图像如下：

由函数图像可知sin x<时，<x<，

所以sin x <的解集为

【变式练习】

求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝.

解　(1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－.

结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：

知函数y＝的定义域为

.

(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.

利用图像．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图像，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图像．所以定义域为.

问题3：已知三角函数值求角的符号表示

（1）任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y.

（2）在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1,1])的x只有一个(参见下图或余弦曲线)，这个x记作arccos y，即x＝arccos y；

（3）在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个(参见图下图或正切曲线)，这个x记作arctan y，即x＝arctan y.

【对点快练】

(1)arcsin ＝____________；

(2)arccos＝____________；

(3)arctan 1＝____________.

答案：(1)　sin ＝，∴arcsin ＝.

(2)　∵cos ＝－，∴arccos＝.

(3)　∵tan ＝1，∴arctan 1＝.

小结：

1．用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法：

(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在位置．

(2)根据变化趋势，确定不等式的解集

2．利用三角函数图像求角或角的取值范围，注意取舍符合题意的图像，从而写出x的值．