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人教版数学九年级下册第二十七章相似(B卷)含解析答案
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第二十七章�相似(B卷�)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
评卷人
得分
一、单选题
1.如图,在矩形中,,,点E、F分别为、的中点,、相交于点G,过点E作,交于点H,则线段的长度是( )
A. B.1 C. D.
2.如图,在中,.分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点,作直线分别交,于点.以为圆心,长为半径画弧,交于点,连结.则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
3.西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法:把矩的两边放置成如图2的位置,从矩的一端(人眼)望点,使视线通过点,记人站立的位置为点,量出长,即可算得物高.令BG=x(m), EG=y(m),若a=30cm,b=60cm,AB=1.6m,则关于的函数表达式为( )
A. B. C. D.
4.如图,点、、、在网格中小正方形的顶点处,与相交于点,小正方形的边长为1,则的长等于( )
A.2 B. C. D.
5.已知,,若,则( )
A.4 B.6 C.8 D.16
6.如图,在中,,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线,直线与相交于点D,连接,若,则的长是( )
A.6 B.3 C.1.5 D.1
7.如图,在中,是边上的点,,,则与的周长比是( )
A. B. C. D.
8.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形.
B.相似三角形的面积的比等于相似比.
C.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
9.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,DE∥BC,若=,那么=( )
A. B. C. D.
10.如图,点,将线段平移得到线段,若,则点D的坐标是( )
A. B. C. D.
评卷人
得分
二、填空题
11.如图,在中,,,,点是边上的一点,过点作,交于点,作的平分线交于点,连接.若的面积是2,则的值是 .
12.如图,在矩形中,是边上一点,且,与相交于点,若的面积是,则的面积是 .
13.如图,在中,点F、G在上,点E、H分别在、上,四边形是矩形,是的高.,那么的长为 .
14.如图,,,相交于点,若,,则的长为 .
15.如图,点G为△ABC的重心,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,具有性质:AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1.已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为 .
16.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=90°,D为AB中点,E在线段AC上,,则 .
评卷人
得分
三、解答题
17.四边形内接于,直径与弦交于点,直线与相切于点.
(1)如图1,若,且,求证:平分;
(2)如图2,连接,若,求证:.
18.如图,是的外接圆,为的直径,点为上一点,交的延长线于点,与交于点,连接,若.
(1)求证:是的切线.
(2)若,,求的半径.
19.如图,在半径为10cm的⊙O中,AB是⊙O的直径,CD是过⊙O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6cm.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求AD的长.
20.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE²=AQ·AB求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ
21.是的直径,C是上一点,,垂足为D,过点A作的切线,与的延长线相交于点E.
(1)如图1,求证;
(2)如图2,连接,若的半径为2,,求的长.
参考答案:
1.A
【分析】根据矩形的性质得出,求出,,求出,根据勾股定理求出,求出,根据三角形的中位线求出,根据相似三角形的判定得出,根据相似三角形的性质得出,再求出答案即可.
【详解】解析:四边形是矩形,,,
,,,
点E、F分别为、的中点,
,,
,
,
,
.
由勾股定理得:,
,
,
,
,
,
解得:,
故选:A.
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定,能熟记矩形的性质是解此题的关键.
2.C
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A;先根据等腰三角形的性质可得,从而可得,再根据等腰三角形的性质可得,然后根据三角形的外角性质可得,由此即可判断选项B;先假设可得,再根据角的和差可得,从而可得,由此即可判断选项C;先根据等腰三角形的判定可得,再根据相似三角形的判定可得,然后根据相似三角形的性质可得,最后根据等量代换即可判断选项D.
【详解】解:由题意可知,垂直平分,,
,则选项A正确;
,
,
,,
,,
,,
,
,则选项B正确;
假设,
,
又,
,
,与矛盾,
则假设不成立,选项C错误;
,,
,
在和中,,
,
,即,
,则选项D正确;
故选:C.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握判定定理与性质是解题关键.
3.B
【分析】先根据矩形的判定与性质可得,从而可得,再根据相似三角形的判定证出,然后根据相似三角形的性质即可得出结论.
【详解】解:由题意可知,四边形是矩形,
,
,
,
又,
,
,
,
,
,
整理得:,
故选:B.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.
4.A
【分析】先根据勾股定理计算AD的长,再根据△AOB∽△DOC,对应边成比例,从而求出AO的长.
【详解】解: AD=,AB=2,CD=3,
∵AB∥DC,
∴△AOB∽△DOC,
∴,
∴设AO=2x,则OD=3x,
∵AO+OD=AD,
∴2x+3x=5.
解得:x=1,
∴AO=2,
故选:A.
【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质,解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.
5.A
【分析】根据相似三角形的性质得到,代入求解即可.
【详解】解:∵,
∴,即,
解得.
故选:A.
【点睛】此题考查了相似三角形的性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形性质.相似三角形性质:相似三角形对应边成比例,对应角相等.相似三角形的相似比等于周长比,相似三角形的相似比等于对应高,对应角平分线,对应中线的比,相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6.C
【分析】由作图可得:是AC的垂直平分线,记MN与AC的交点为G,证明 再证明 可得,从而可得答案.
【详解】解:由作图可得:是AC的垂直平分线,记MN与AC的交点为G,
∴
∵,
∴
∴
故选C
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,平行线分线段成比例,证明是解本题的关键.
7.B
【分析】先证明△ACD∽△ABC,即有,则可得,问题得解.
【详解】∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴△ADC与△ACB的周长比1:2,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键.
8.C
【分析】根据矩形的判定,相似三角形的性质,方差的意义,平行公理逐项分析判断即可求解.
【详解】解:A. 对角线相等的平行四边形是矩形,故该选项不正确,不符合题意;
B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方,故该选项不正确,不符合题意;
C. 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,故该选项正确,符合题意;
D. 同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故该选项不正确,不符合题意;
故选C
【点睛】本题考查了矩形的判定,相似三角形的性质,方差的意义,平行公理,掌握相关知识是解题的关键.
9.D
【分析】先求解再证明可得
【详解】解: =,
DE∥BC,
故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,证明是解本题的关键.
10.D
【分析】先过点C做出轴垂线段CE,根据相似三角形找出点C的坐标,再根据平移的性质计算出对应D点的坐标.
【详解】
如图过点C作轴垂线,垂足为点E,
∵
∴
∵
∴
在和中,
,
∴,
∴ ,
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位,向上平移2个单位得到,
∴点D同样是由点A向右平移6个单位,向上平移2个单位得到,
∵点A坐标为(0,3),
∴点D坐标为(6,5),选项D符合题意,
故答案选D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键.
11.
【分析】先根据勾股定理得出,根据的面积是2,求出点到的距离为,根据的面积,求出点到的距离为,即可得出点到的距离为,根据相似三角形的判定与性质,得出,求出,,根据等角对等边求出,即可求出,即可得出最后结果.
【详解】解:在中,由勾股定理得,,
∵的面积是2,
∴点到的距离为,
在中,点到的距离为,
∴点到的距离为,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算,平行线的性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,解题的关键是求出点到的距离为,点到的距离为.
12.27
【分析】根据矩形的性质,很容易证明∽,相似三角形之比等于对应边比的平方,即可求出的面积.
【详解】解:四边形是矩形,
,
,
,
∽,
,,
::,
::,即::,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,综合性比较强,学生要灵活应用.掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.
13./4.8
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出,因此△AEH与△ABC两个三角形相似,将AM视为△AEH的高,可得出,再将数据代入即可得出答案.
【详解】∵四边形EFGH是矩形,
∴,
∴,
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高,
∴,
∴,
∵,
代入可得:,
解得,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质,灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.
14.5
【分析】由平行线的性质求出∠B=∠C,∠A=∠D,得△EAB∽△EDC,再由相似三角形的性质求出线段CD即可.
【详解】解:∵,
∴∠B=∠C,∠A=∠D,
∴△EAB∽△EDC,
∴AB:CD=AE:DE=1:2,
又∵AB=2.5,
∴CD=5.
故答案为:5.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.
15.18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可.
【详解】解:∵CG:GF=2:1,△AFG的面积为3,
∴△ACG的面积为6,
∴△ACF的面积为3+6=9,
∵点F为AB的中点,
∴△ACF的面积=△BCF的面积,
∴△ABC的面积为9+9=18,
故答案为:18.
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质,熟练掌握线段中点的性质是解题关键.
16.或
【分析】由题意可求出,取AC中点E1,连接DE1,则DE1是△ABC的中位线,满足,进而可求此时,然后在AC上取一点E2,使得DE1=DE2,则,证明△DE1E2是等边三角形,求出E1E2=,即可得到,问题得解.
【详解】解:∵D为AB中点,
∴,即,
取AC中点E1,连接DE1,则DE1是△ABC的中位线,此时DE1∥BC,,
∴,
在AC上取一点E2,使得DE1=DE2,则,
∵∠A=30°,∠B=90°,
∴∠C=60°,BC=,
∵DE1∥BC,
∴∠DE1E2=60°,
∴△DE1E2是等边三角形,
∴DE1=DE2=E1E2=,
∴E1E2=,
∵,
∴,即,
综上,的值为:或,
故答案为:或.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,平行线分线段成比例,等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等,根据进行分情况求解是解题的关键.
17.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)连接,根据切线的性质可得,再由,可得,从而得到为等边三角形,再跟等边三角形的性质可得BE平分,即可求证;
(2)根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得,从而得到,进而得到,再由,即可求证.
【详解】(1)证明:连接,
直线与相切于点,
,
,
,
,
又,
为等边三角形,
又,
平分,
,
平分;
(2)证明:∵直线与相切于点,
,
,
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠OBC+∠ABO=90°,
∴∠OBC=∠PBA,
∵OB=OC,
∴,
,
,
,
又,
.
【点睛】本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识,熟练掌握切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
18.(1)过程见解析
(2)3
【分析】(1)连接OE,先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE,进而得出,再由,根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB,然后根据直径所对的是直角,即可得出答案;
(2)先说明,再设的半径为r,并表示,,,然后根据对应边成比例得出,根据比例式求出半径即可.
【详解】(1)证明:连接OE.
∵,,
∴∠ABC=∠BOE,
∴,
∴∠OED=∠BCD.
∵,
∴∠FEC=∠ACE,
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE,
即∠FEO=∠ACB.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠FEO=90°,
∴.
∵EO是的半径,
∴EF是的切线.
(2)∵,
∴.
∵BF=2,.
设的半径为r,
∴,,.
∵,
∴,
解得,
∴的半径是3.
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定,解直角三角形,熟练掌握相关定理是解题的关键.
19.(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接OC,由AC平分∠BAD,OA=OC,可得∠DAC=∠OCA,ADOC,根据AD⊥DC,即可证明CD是⊙O的切线;
(2)由OE是△ABC的中位线,得AC=12,再证明△DAC∽△CAB,,即,从而得到AD.
【详解】(1)证明:连接OC,如图:
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴ADOC,
∵AD⊥DC,
∴CO⊥DC,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵E是BC的中点,且OA=OB,
∴OE是△ABC的中位线,AC=2OE,
∵OE=6,
∴AC=12,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°=∠ADC,
又∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴,即,
∴AD.
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理,相似三角形的判定及性质等知识,解题的关键是熟练应用圆的相关性质,转化圆中的角和线段.
20.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用SAS证明△ACE≌△ABF即可;
(2)先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF,求出∠BQF=∠AFE,再证△CAF∽△BFQ,利用相似三角形的性质得出结论.
【详解】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵CF=BE,
∴CE=BF,
在△ACE和△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(SAS),
∴∠CAE=∠BAF;
(2)证明:∵△ACE≌△ABF,
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,
∵AE²=AQ·AB,AC=AB,
∴,即,
∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,
∴∠AEF=∠BQF,
∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴∠BQF=∠AFE,
∵∠B=∠C,
∴△CAF∽△BFQ,
∴,即CF·FQ=AF·BQ.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质,熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键.
21.(1)见解析
(2)
【分析】(1)证明,,即可得出;
(2)证明,求出OD,由勾股定理求出DB,由垂径定理求出BC,进而利用勾股定理求出AC,AD.
【详解】(1)解:∵ ,
∴,
∵ 是的切线,
∴,
在和中,,,
∴;
(2)解:如图,连接AC.
∵ 的半径为2,
∴,,
∵ 在和中,
,,
∴,
∴,即,
∴,
在中,由勾股定理得:,
∴.
∵ ,经过的圆心,
∴,
∴.
∵是的直径,C是上一点,
∴,
在中,由勾股定理得:,
∴.
在中,由勾股定理得:,
∴.
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等,综合性较强,熟练掌握上述知识点,通过证明求出OD的长度是解题的关键.