数学九年级下册28.1 锐角三角函数精品复习练习题

这是一份数学九年级下册28.1 锐角三角函数精品复习练习题，共5页。试卷主要包含了计算的结果，正确的是，如图，是的高，若，，则边的长为，的值等于等内容，欢迎下载使用。


1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．4
4．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）

A．B．3C．D．2
5．计算的结果，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
9．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2B．C．D．
10．的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到米）．（参考数据：，，）
12．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
13．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）
14．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）．
15．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
16．1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝ 小时．
17．第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
18．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）
19．（1）计算：；
（2）化简：．
20．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．
(1)求，两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
21．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
2．C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
3．A
【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．
【详解】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
在中,
，
．.
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
4．C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，

∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
5．B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝．
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
7．A
【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故选A．

【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
8．D
【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故选D．
【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．
9．A
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
10．B
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
11．1614
【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝x米，则AF＝（50+x）米，DF＝（x﹣14）米，利用tan46°12′1.04，即可解决问题．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
（米），
，
，，
∴△CDE是等腰直角三角形，
，
设米，
则米，米，
．
∴，
解得，
米，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和DF的长是解题的关键．
12．50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
13．12.7
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=x m，在Rt△BDE中，，进而求得，在Rt△ADE中，，求得，根据CD=CE-DE可得出答案．
【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，
解得
则m，
在Rt△ADE中，，
解得m，
∴CD=CE-DE．
故答案为：12.7．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
14．/
【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．
【详解】解：过点D作交于点E，如图：
则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
15．
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．
【详解】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．
16．(1+)/（＋1）
【分析】根据题意求出和的度数以及AP的长度，然后再中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程速度，进行计算即可求解．
【详解】由题意得：
∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，
在Rt△APC中，AC＝AP•cs45°＝100×＝50（海里），
PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），
在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），
∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，
∴t＝＝（1+）小时，
故答案为：（1+）．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；
（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作轴于点D．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）解：当时，，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
18．、两点之间的距离约为94米
【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，过点作，垂足为点，
在中，
∵，米，
∴，，
∴（米），
（米），
在中，
∵，米，
∴，
∴（米），
∴（米）.
答：、两点之间的距离约为94米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．(1)9m
(2)24m
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
（2）过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．主塔的高度约为78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴，
∴m，
∴AB＝BC＝m，
答：主塔的高度约为78m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．